Komplexe Integration

24.01.2011, 15:08	Hilfesuchender159	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Integration Folgendes Integral soll gelöst werden: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=2} \frac{dz}{z^2+1} \end{eqnarray}$ Wir haben dies nun mit Partialbruchzerlegung zerlegt: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\|=2} \frac{dz}{z^2+1} = \frac{1}{2i}\int_{\|z\|=2} \frac{dz}{z-i} - \frac{1}{2i}\int_{\|z\|=2} \frac{dz}{z+1} \end{eqnarray}$ Da wir zu blöd sind, kommen wir nicht weiter. Wir bitten um Tipps und Tricks.
24.01.2011, 15:36	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, parametarisiere diesen Weg z.b. mit: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = 2e^{it}, t \in [0,2\pi] \end{eqnarray}$ und rechne dieses einfach direkt nach. Also $\begin{eqnarray} <br /> \int \limits_{\|z\| = 2}\frac{dz}{z^2 + 1} = \int \limits_{0}^{2\pi} \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)^2 + 1}dt<br /> \end{eqnarray}$ Oder halt beide Integrale direkt bestimmen mit dieser Methode. Sofern der Residuensatz bekannt ist, benutze diesen.
24.01.2011, 16:11	Hilfesuchender159	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, so einfach? Ok, das Ergebnis wäre dann 0? Wir haben hier noch ein Integral. Bei dem kommen wir allerdings rechentechnisch nicht weiter: $\begin{eqnarray} \int_{\|z\| = 1} \! \frac{e^z}{z} \, dz \end{eqnarray}$ Parametrisieren mit: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = e^{it} \end{eqnarray}$ Dann folgt: $\begin{eqnarray} \int_0^{2 \pi} \! e^{e^{it}}i \, dt \end{eqnarray}$ Dann substituieren wir $\begin{eqnarray} u := e^{it} \end{eqnarray}$ und dann kommen wir auf: $\begin{eqnarray} \int_0^{2 \pi} \! \frac{e^u}{u} \, du \end{eqnarray}$ 1. Frage: Kann man das so machen? (Sind noch etwas unsicher bei der komplexen Integration) 2. Frage: Wie geht's weiter? (Sind scheinbar auch unsicher in der reellen Integration )
24.01.2011, 18:05	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mich nicht verrechnet habe sollte beim ersten in der Tat 0 rauskommen. Aber Lösungsweg wäre schön. Wahrscheinlich habt ihr den Arkustangens benutzt. Der ist ja im komplexen ein wenig "mehrdeutig".. Im 2ten. Benutze die Potenzreihendarstellung. Weiterhin integriere gleidweise und beachte, dass die Meisten Summanden in einer Umgebung der Einheitskugel holomorph sind, also Cauchys Integralsatz usw. anwenden es sollte dann nur noch das integral über 1/z übrig bleiben, dieses kann man bestimmen.
24.01.2011, 18:09	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für dein neues Beispiel würde sich wohl die Cauchy'sche Integralformel besser eignen. Hattet ihr die denn schon? Denn das hier ist eines der Standardbeispiele für diese. Wenn ihr die schon hattet, hier nochmal zur Erinnerung: auf einer Menge K: $\begin{eqnarray} K = \{ w\in \mathbb{C} \mid \left\| w - w_0 \right\|\leq r \} \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} w\in\overset{\circ}{K} \end{eqnarray}$ also im Inneren von K. $\begin{eqnarray} f(w) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{\partial K} \! \frac{f(z)}{z-w} \, \mathrm dz \end{eqnarray}$ Dieses musst du nun nur noch an deine Aufgabe anpassen und schon hast du die Lösung

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