Bernoulli-Experiment

24.01.2011, 16:29

petrus_86

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Bernoulli-Experiment

Meine Frage:
Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 3 Anlagen im Alter von 30, 32 und 35 Jahre nach 2 Jahren

a) höchstens 2
b) mindestens eine
c) keine

noch arbeitet?

Näherungsweise kann angenommen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für eine 30-jährige Anlage nach t-Jahren noch zu arbeiten durch

P(t)=1-(t/100)

gegeben ist.

Meine Ideen:
Problem: Ich habe zwar die Ergebnisse komme, aber nicht auf die Ergebnisse

Zuerst müsste man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Anlagen berechnen:

A1-30 Jahre: 1-(2/100), weil sie insgesamt 2 Jahre über 30 ist.
A2-32 Jahre: 1-(4/100), weil sie insgesamt 4 Jahre über 30 ist.
A3-35 Jahre: 1-(7/100), weil sie insgesamt 7 Jahre über 30 ist.

a) P(höchstens zwei Anlagen arbeiten)= 1 - P(genau drei Anlagen arbeiten) --> falsches Ergebnis
b) P(mindestens eine Anlage arbeitet)= 1- P(keine Anlage arbeitet mehr)
c) P(keine Anlage arbeitet mehr)= 7*4*2/100^3 = 5,6*10^-5 --> falsches Ergebnis.

Die Soll-Ergebnisse:
a)0,06
b)0,9999
c)0,0000085929

Zellerli: Titel angepasst. "Wahrscheinlichkeitsrechnung" ist hier in der Schulstochastik so ziemlich alles.

24.01.2011, 17:04

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Du musst für die Anlagen 2 und 3 die Wahrscheinlichkeit, dass sie insgesamt 4 bzw. 7 Jahre arbeiten, als bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, denn die ersten 2 bzw. 5 Jahre haben sie ja unbeschadet überstanden.

24.01.2011, 20:15

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Vielen Dank für die Antwort, leider hilft sie mir nicht weiter, da mir der Ansatz fehlt.

24.01.2011, 22:22

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von petrus_86
Vielen Dank für die Antwort, leider hilft sie mir nicht weiter, da mir der Ansatz fehlt.

Diesen Spruch liebe ich.

Welcher Ansatz fehlt dir? Das Thema bedingte Wahrscheinlichkeit habt ihr sicher durchgenommen. Nehmen wir Maschine 2:

A Maschine arbeitet nach 4 Jahren noch.
B Maschine arbeitet nach 2 Jahren noch.
A|B Maschine arbeitet nach 4 Jahren noch unter der Bedingung, dass sie nach 2 Jahren noch gearbeitet hat. Die Wahrscheinlichkeit dafür:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)= ... \end{eqnarray*}$

Schreib die Formel zu Ende und rechne sie aus. Bei dieser Aufgabe ist der Zähler auf der rechten Seite besonders leicht zu bestimmen.

25.01.2011, 07:43

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hallo,

danke erstmal. Dennoch bringt es mich m. E. nicht weiter. Vielleicht liegt ein grundlegendes Verständnisproblem meinerseits bzgl. der Aufgabe vor.

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)=0,98*0,96/0,98= 0,96 \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 08:50

René Gruber

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Zitat:

Original von petrus_86
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)/P(B)=0,98*0,96/0,98 \end{eqnarray*}$

Bei der falschen Rechnung $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ im Zähler fällt mir doch gleich wieder das ein.

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25.01.2011, 08:50

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Dein Problem liegt bei $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ . Du berechnest das als

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$

Das ist zwar auch ein besonders einfacher Fall, aber er gilt nur, wenn die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind. Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit, weil sich $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ wegkürzt.

A und B sind hier aber nicht stochastisch unabhängig. Wenn die Maschine schon innerhalb der ersten 2 Jahre ausfällt (B tritt nicht ein), dann kann sie auch nach 4 Jahren nicht mehr arbeiten. Du musst also noch mal über $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ nachdenken.

Es ist, wie schon gesagt, auch ein sehr einfacher Fall. Vielleicht fällt es dir leichter, wenn du in Mengen denkst. A ist die Menge der Maschinen, die nach 4 Jahren noch arbeiten. B ist die Menge der Maschinen, die nach 2 Jahren noch arbeiten. Welche Mengenbeziehung besteht zwischen A und B? Was ist also dann die Menge $\begin{eqnarray*} A \cap B = ? \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 09:10

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
zu a) Ich bilde das Gegenteil von höchstens 2 Anlagen:

$\begin{eqnarray*} =P(A)\cap P(B)\cap P(C) \end{eqnarray*}$

d.h., dass alle Anlagen noch arbeiten.

25.01.2011, 09:22

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
So weit sind wir noch nicht. Wir sind doch erst dabei, die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, die in diese Rechnung eingehen. Bleib mal bei der Frage, die ich dir gestellt habe.

Deine Folgerechnung war vom Prinzip richtig, aber halt mit den falschen Wahrscheinlichkeiten für die Maschinen 2 und 3.

Bei den Mengen A und B geht es nicht um die 3 konkreten Maschinen. Es geht um eine gedachte große Menge von Maschinen, die als Grundgesamtheit für die Wahrscheinlichkeiten herangezogen werden kann. Und die Mengen A und B sind Teilmengen dieser Grundgesamtheit.

25.01.2011, 09:27

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
OK, wenn ich A und B alleine betrachte ohne Aufgabenhintergrundwissen ist
$\begin{eqnarray*} A\cap B=B \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 09:36

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Jetzt bist du auf der richtigen Spur.
Aber welche Menge ist denn Teilmenge der anderen Menge?
Also noch mal: Was ist $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ ?

25.01.2011, 09:39

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Teilmenge kann nur die geringere Anzahl an Jahren sein.

Also: $\begin{eqnarray*} =A\cap B = A \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 09:46

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von petrus_86
Teilmenge kann nur die geringere Anzahl an Jahre sein.

Blödsinn! Genau umgekehrt. Nach 4 Jahren arbeitet nur noch ein Teil der Maschinen, die nach 2 Jahren noch gearbeitet haben.

Es ist also $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$

Und deshalb stimmt das jetzt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A\cap B = A \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 10:04

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
OK, ich bin von der alleinigen Zahl an Jahren ausgegangen, nicht im Bezug zur Maschine. Das ist jetzt klar, die Begründung haben Sie ja schon oben erwähnt: Die Maschine kann nur nach 4 Jahren noch arbeiten, wenn sie nach 2 Jahren noch gearbeitet hat. Danke bis hierher.

Was kann ich jetzt mit "A ist echte Teilmenge B" anfangen?

25.01.2011, 11:00

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Na, was wohl?

Wenn du weißt, $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ , dann kennst du doch auch $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Das ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit für Maschine 2. Das analoge machst du mit Maschine 3.

Und mit diesen 3 Wahrscheinlichkeiten (Maschine 1 war ja klar) rechnest du dann so, wie du angefangen hast.

25.01.2011, 11:16

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Tja keine Ahnung. Ich würde schließen:

P(A)=P(B)

25.01.2011, 11:28

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Heiliges Kanonenrohr, hast du dein Gehirn ausgeschaltet?

Aus $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ folgt doch selbstverständlich $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = P(A) \end{eqnarray*}$ .
Wenn zwei Ereignismengen gleich sind, dann sind sie gleich in allen ihren Eigenschaften, also auch in ihren Wahrscheinlichkeiten.

25.01.2011, 11:59

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
und $\begin{eqnarray*} P(A)\cap P(C)=P(A) \end{eqnarray*}$ , oder?

Mich irretiert die stochastische Unabhängigkeit. Ich würde jetzt $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)/P(B)=P(A)/P(B) rechnen. \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 12:16

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
1. Zeile meinte ich natürlich:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap C)=P(A) \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 12:23

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von petrus_86
und $\begin{eqnarray*} P(A)\cap P(C)=P(A) \end{eqnarray*}$ , oder?

Was soll denn C sein? Bei mir gab es bisher kein C.
Und der Ausdruck ist schon rein formal unsinnig. Er könnte höchstens lauten $\begin{eqnarray*} P(A\cap C)=P(A) \end{eqnarray*}$

@ Edit: Hatte nicht gesehen, dass du das selbst schon korrigiert hast.

Zitat:

Mich irretiert die stochastische Unabhängigkeit. Ich würde jetzt $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)/P(B)=P(A)/P(B) rechnen. \end{eqnarray*}$

So ist es.
Und darin steckt die Abhängigkeit. Es kommt doch auch etwas anderes heraus, als bei Unabhängigkeit, mit der du zwischendurch rechnen wolltest.

26.01.2011, 11:22

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ja naklar kommt etwas anderes heraus. Das Ergebnis ist aber über 1 und das wundert mich.

$\begin{eqnarray*} P(A)|P(B)=0,98/0,96=1,02083 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A)|P(C)=0,98/0,93=1,05376 \end{eqnarray*}$

Wie geht es weiter?

26.01.2011, 11:26

René Gruber

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Zitat:

Original von petrus_86
Das Ergebnis ist aber über 1 und das wundert mich.

Mich nicht, da du die Zahlenwerte in Zähler und Nenner vertauscht hast.

Auch ich muss fragen: Was ist $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ? Das hast du bisher nicht eingeführt. unglücklich

unglücklich

26.01.2011, 12:24

petrus_86

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung
C=Maschine arbeitet nach 7 Jahren noch. Kann es sein, dass ich die Bedingung vertauscht habe?
Ich steige leider noch nicht hinter...

26.01.2011, 13:10

René Gruber

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Ich nehme an, es geht dir um die in der Aufgabenstellung gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass die 35 Jahre alte Maschine noch weitere 2 Jahre durchhält? Um das zu beschreiben, brauchst du neben diesem $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (37 Jahre) auch noch ein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ (35 Jahre), denn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ (34 Jahre) nützt dir hier nichts. Es geht also um

$\begin{eqnarray*} P(C \bigm| D) = \frac{P(C\cap D)}{P(D)} = \frac{P(C)}{P(D)} \end{eqnarray*}$ ,

die Begründung ganz analog zu oben mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

26.01.2011, 13:16

Huggy

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@ René

Danke, dass du übernommen hast!
Ich glaube, mein Blutdruck hätte das nicht länger überstanden.

27.01.2011, 10:25

petrus_86

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OK:

a) $\begin{eqnarray*} P(3_Maschinen_arbeiten)= P(A)\cap P(A|B)\cap P(C|D)= 0,98*\frac{0,96}{0,98} *\frac{0,93}{0,95} = 0,9397 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(hoechstens2_Maschinen_arbeiten) = 1 - P(3_Maschinen_arbeiten) = 0,0603 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} P(keine_Maschine_arbeitet) = (1-P(A))*(1-P(A|B))*(1-P(C|D)) = \frac{2}{100} * \frac{2}{98} * \frac{2}{95} = 0,0000085929 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} P(mindestens_eine_Maschine_arbeitet) = 1 - P(keine_Maschine_arbeitet) = 0,99999141 \end{eqnarray*}$

Herzlichen Dank :-)

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