Prüfen ob die Reihe konvergiert

24.01.2011, 19:00

Monopol1

Prüfen ob die Reihe konvergiert

Hallo!!

Prüfe für jedes $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ob folgende Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \left((\sum\limits_{k=1}^n \frac{k^{a}}{2^{k}} )\right)_{n=1}^{\infty } \end{eqnarray*}$

Wenn es konvergiert muss $\begin{eqnarray*} q = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \end{eqnarray*}$ sein. Sonst ist es divergent.

Wenn ich nach q auflöse bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} q = \frac{(k+1)^{a}2^{k}}{2^{k+1}k^{a}} = \frac{(k+1)^{a}}{2k^{a}} \end{eqnarray*}$

Jetzt gibt es die Fälle:
a>1,
a<1,
0<a<1,
1>a>0,
a=0
a=1

ich weiss nicht wie ich nun anfangen und vorgehen soll...

ich habe auch überlegt a durch m/n zu ersetzen mit den Fällen m>n, m<n und m=n, aber hilft mir auch nicht wirklich weiter..

24.01.2011, 19:10

tmo

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Eigentlich gibt es gar keine verschiedenen Fälle.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{k+1}{k}=1 \end{eqnarray*}$

Was folgt also für $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left(\frac{k+1}{k}\right)^a \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2011, 19:12

Shortstop

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RE: Prüfen ob die Reihe konvergiert
edit: War quatsch. Hab den Limes vergessen. Halt dich an Tmo ;O

24.01.2011, 19:14

Monopol1

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Zitat:

Original von tmo
Was folgt also für $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \left(\frac{k+1}{k}\right)^a \end{eqnarray*}$ ?

das konvergiert auch gegen 1....

Bei mir steht aber nicht $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{2k} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} \frac{k+1}{k+k} \end{eqnarray*}$

24.01.2011, 19:17

tmo

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Da steht 2, aber sicher nicht $\begin{eqnarray*} 2^a \end{eqnarray*}$ . Wo ist also das Problem? verwirrt