Diagonalisieren einer 3x3-Matrix

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24.01.2011, 21:28	keinschimmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisieren einer 3x3-Matrix Hallo, ich muss auf dem allwöchendlichen Übungszettel folgende Aufgabe Lösen: Diagonalisiere die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & -6 & -6 \\ -1 & 4 & 2 \\ 3 & -6 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ d.h gib eine Invertierbare 3 x 3-Matrix an, so dass $\begin{eqnarray} PAP^{-1} \end{eqnarray}$ Diagonalgestalt hat. Ich habe jetzt zuerst die Eigenwerte von A ausgerechnet: 1, 2, 2 Dann habe ich zu den Eigenwerden die Eigenvektoren bestimmt: E(1) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ E(2) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die sollten jetzt doch zusammen $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ ergeben oder? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ invertiert: $\begin{eqnarray} P^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -5 \\-1 & 3 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Leider ist $\begin{eqnarray} PAP^{-1} \end{eqnarray}$ alles andere als Diagonal. Ist die Herangehensweiße denn halbwechs richtig? Und wenn ja, wo liegt der Fehler? Danke schon mal.
24.01.2011, 21:35	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diagonalisieren einer 3x3-Matrix Aber $\begin{eqnarray} P^{-1} A P \end{eqnarray}$ schon.
24.01.2011, 21:45	keinschimmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt. Aber in der Aufgabe ist ja expliziet $\begin{eqnarray} PAP^{-1} \end{eqnarray}$ gefordert. Kann ich das irgendwie so umbiegen das $\begin{eqnarray} PAP^{-1} \end{eqnarray}$ gilt?
24.01.2011, 21:53	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle für P die inverse Matrix der Eigenvektoren.
24.01.2011, 22:01	keinschimmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich Depp. Dankeschön
08.03.2011, 15:54	muma	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich habe gerade eine Aufgabe vor mir, die genau gleich anfängt, wie diese hier. Allerdings habe ich für den Eigenwert 2 folgende Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also ergibt sich auch ein anderes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und bei mir ist auch weder $\begin{eqnarray} PAP^{-1} \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} P^{-1}AP \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix. Sind meine Eigenvektoren falsch? Der Eigenraum zum Eigenwert 2 ist ja $\begin{eqnarray} ker \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & -6 & -6 \end{pmatrix} = ker \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? Vielen Dank schonmal!
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08.03.2011, 16:06	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zwei Vektoren stimmen schon, die du ausgerechnet hast. Ich nehme mal an, du hast als P folgende Matrix (bis auf Spaltentausch): $\begin{eqnarray} P=\begin{pmatrix}0 &2&3\\-1&1&-1\\1&0&3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Diese ergibt natürlich auch eine Diagonalisierung, denn dein Eigenvektor $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist eine Linearkombination aus den oben genannten: $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da er linearunabhängig zu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist, kannst du ihn auf Grund des Austauschlemmas mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ tauschen. Somit folgt: Du hast dich schlicht und einfach entweder bei der Inversen und bei $\begin{eqnarray} P^{-1}AP \end{eqnarray}$ verrechnet.
08.03.2011, 16:07	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Matrix zur Bestimmung des Eigenraumes stimmt, aber dein Ergebnis nicht. Das müsstest du noch mal zeigen. Setze $\begin{eqnarray} x_2 = s,~x_3 =t \end{eqnarray}$ und löse nach x_1 auf, dann kommst du auf das Ergebnis, das hier angegeben ist. Edit: Einen Tacken zu spät dran ...
08.03.2011, 22:14	muma	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Habe jetzt eine Diagonalmatrix raus.

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