Kürzen beim Kosinus

24.01.2011, 23:12

HBK

Kürzen beim Kosinus

Meine Frage:
Ave! Ich scheiter (mal wieder) am Kürzen. Generell ist meine Frage, wie man Ausdrücke wie cosx/cosnx oder cosnx/cos²x umschreiben kann. Das juckt doch förmlich in den Fingern, das zu vereinfachen...

Ich kann ja mal die Original-Aufgabe mitposten:

lim x-->0 (tan(nx) - n*tanx)/(n*sinx - sin(nx))

Meine Ideen:
Also mein erster Ansatz war tan=sin/cos und dann Additionstheoreme etc., bis ich so entnervt war, dass mir L'Hopital eingefallen ist, mit dem ich

(n/(cos²nx) - n/cos²x)/(n*cosx - cos(nx)*n) und damit

n*(cosx - cos(nx))/cos²nx*cos²x) bekommen habe.

Wie kann ich noch kürzen?

Wenn dieser Ansatz nicht der richtige ist, dann hab ich noch einen alten Beweis von sin(nx) <= n*sinx von vor Ewigkeiten im Ärmel, über den ich mir auch noch mal Gedanken machen sollte. =)

Danke für eure Antworten.
Vale, HBK.

24.01.2011, 23:38

corvus

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RE: Kürzen beim Kosinus

Zitat:

Original von HBK

Ave! Ich scheiter

Ich kann Freude

ja mal die Original-Aufgabe mitposten:

lim x-->0 (tan(nx) - n*tanx)/(n*sinx - sin(nx))

L'Hopital eingefallen ist, mit dem ich

(n/(cos²nx) - n/cos²x)/(n*cosx - cos(nx)*n)
und damit

n*(cosx - cos(nx))/cos²nx*cos²x) unglücklich

bekommen habe.
..und das offenbar ohne Kenntnisse elementarster Bruchrechenregeln

..
ich mir auch noch mal Gedanken machen sollte.
super Idee

Danke für eure Antworten.
Vale, HBK.

Vorschlag:
Zurück zum Start und alles nochmal sorgfältig und hoffentlich dann richtig
soweit wie möglich neu notieren (wenn du es schaffst : mit latex.. siehe Formeleditor)

.

24.01.2011, 23:50

HBK

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uff sry, bin übernächtig, aber naja. Hab das schon getan und bin jetzt auf 2 als Grenzwert gekommen, müsste stimmen.

24.01.2011, 23:58

corvus

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.
und wie bist du denn nun darauf gekommen? smile

25.01.2011, 00:08

HBK

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Okay, muss kurz machen, da noch eine andere Aufgabe warten. =)

Naja richtig abgeleitet und zusammengefasst kommt $\begin{eqnarray*} lim x->0 (cosx + cos(nx))/cos²x*cos²nx) \end{eqnarray*}$ raus. Die einzelnen Teile gehen jeweils gegen 1, sodass (1+1)/1 = 2 entsteht.

mmmh... mit Latex muss ich mich ein ander Mal beschäftigen.^^

25.01.2011, 00:16

corvus

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Zitat:

Original von HBK
Naja richtig abgeleitet und zusammengefasst kommt
$\begin{eqnarray*} lim x->0 (cosx + cos(nx))/cos²x*cos²nx) \end{eqnarray*}$
raus. Die einzelnen Teile gehen jeweils gegen 1, sodass (1+1)/1 = 2 entsteht.

.................................... geht doch Freude

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cosx + cos(nx)}{cos^2x \cdot cos^2(nx)} = 2 \end{eqnarray*}$

.

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