Transformation auf Frobenius Normalform

25.01.2011, 08:10

hnky

Transformation auf Frobenius Normalform

hallo,

ich habe mir gerade diesen wiki artikel zum thema rationale normalform/frobenius normalform durchgelesen, und finde es ziemlich faszinierend, dass man jede quadratische matrix auf diese form bringen kann.

leider habe ich noch einige verständnisfragen:

1) in dem artikel wird leider kein beispiel gerechnet, deshalb bin ich mir unsicher, ob ich das generelle vorgehen verstanden habe. muss ich wie folgt vorgehen?

a)zunächst das charakteristische polynom der matrix bestimmen, und dieses soweit faktorisieren wie möglich
b) danach das minimalpolynom bestimmen, und auch dieses soweit wie möglich faktorisieren
c)mein minimalpolynom besteht jetzt aus lauter irreduziblen faktoren, und jetzt muss ich die begleitmatrizen dieser einzelnen faktoren bestimmen.
d)zum schluss packe ich diese einzelnen begleitmatrizen in eine blockdiagonalmatrix.

die "teilereigenschaft" müsste ich ja dann schon durch den punkt c) erhalten haben, oder?

2) im wiki artikel steht, dass für jede matrix $\begin{eqnarray*} A \in K^{n \times n} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=F \end{eqnarray*}$ , wobei F die frobeniusnormalform der matrix A ist.

dies bedeutet doch, dass es sich hierbei um eine ähnlichkeitstransformatiom, ähnlich wie die diagonalisierung, handelt, oder?
doch wie erhalte ich die transformationsmatrix T?

ich vermute, dass ich sie durch eine der folgenden möglichkeiten erhalte kann:

a)ich berechne das charakteristische polynom "irgendwie" durch den gauß algorithmus, indem ich umformungen benutze, die die determinante nicht ändern, und speichere dabei die zeilenumformung in der matrix $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ , aber ich bezweifle, dass mich das ans ziel führen wird.

b) ich mache es im prinzip analog zur diagonalisierung: die transformationsmatrix T beteht dort aus den eigenvektoren, nun ist es ja aber bei der frobeniusnormalform der fall, dass auch nicht-diagonalisierbare matrizen in diesem form überführt werden können.
d.h. ja unter anderem auch, dass nicht genügend eigenvektoren für eine entsprechende matrix T exisitieren.
ich vermute nun, dass man die matrix T erstmal mit entsprechenden parametern aufstellt, doch das ganze wird, besonders beim inventieren, dann ziemlich mühsam zu berechnen.

liege ich mit meinen vermutung auf dem holzweg und gibt es vielleicht eine viel einfacherer möglichkeit, die ich nicht bedacht habe?

danke schonmal im voraus an jeden, der sich mit diesem thema auskennt smile

gruß, hnky

25.01.2011, 08:33

jester.

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Morgen,

als erstes solltest du wissen oder herausfinden, wie man eine Matrix in eine Begleitmatrix zu einem Polynom transformiert (falls möglich). Das ist zum Beispiel in dem Fall möglich, wo $\begin{eqnarray*} \chi_A=\mu_A \end{eqnarray*}$ . Ein Beispiel ist also die Matrix $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2&4\end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu_A(X)=\chi_A(X)=X^2-5X=X(X-5) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ auswählst, der nicht Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist, so wird deine Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (v,Av) \end{eqnarray*}$ die Gestalt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0 \\1&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben. Dies ist gerade die Begleitmatrix von $\begin{eqnarray*} X^2-5X \end{eqnarray*}$ .

Ich definiere mal für $\begin{eqnarray*} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ einen sogenannten zyklischen Vektorraum $\begin{eqnarray*} \langle v \rangle _A := \langle v, ~ Av , ... , A^{n-1}v\rangle \end{eqnarray*}$ .

Hier gilt nun $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2\times 2}= \langle v \rangle _A \end{eqnarray*}$ . Überlege dir, warum dies stets die Transformation auf eine Begleitmatrix ermöglicht.

So, nun haben wir das geschafft. Als nächstes benötigst du die Invarianntenteiler von $\begin{eqnarray*} XI-A \end{eqnarray*}$ , um auf die Frobenius-Form zu kommen. Nennen wir diese mal $\begin{eqnarray*} c_1(X) , ... , c_n(X) \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nun wieder beliebig). Dadurch hat man die Teilbarkeitseigenschaft gesichert.
Basierend auf dem Grad von $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ wähle ich nun einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ aus dem Kern von $\begin{eqnarray*} c_1(A) \end{eqnarray*}$ aus, sodass $\begin{eqnarray*} \dim \langle v_1, ~Av_1,... , A^{ {\rm Grad} (c_1) -1 }v_1 \rangle = {\rm Grad}(c_1) \end{eqnarray*}$ .
Dann mache ich mit $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ weiter, wobei ich so wählen muss, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} (v_2, Av_2 , ... A^{ {\rm Grad}(c_2)-1 } v_2) \end{eqnarray*}$ wiederum die Dimensionsbedingung erfüllen und von meinen vorherigen Vektoren linear unabhängig sind.
Das macht man dann solange weiter, bis man beim letzten Invariantenteiler angekommen ist, dann trägt man alle erhaltenen Vektoren in eine Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein und $\begin{eqnarray*} S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ sollte in Frobenius-Normalform sein. Und ja, das ist eine Ähnlichkeitstranformation - das ist ja der ganze Sinn der Übung, man will die Matrix auf einen standardisierten Vertreter transformieren, um die Frage der Ähnlichkeit zweier Matrizen beantworten zu können.

Diesen "Algorithmus" habe ich so ein bisschen durch Ausprobieren gefunden, also kann es durchaus sein, dass es da noch ein paar Probleme oder Ungereimtheiten geben kann. Vielleicht möchtest du einfach mal hier ein Beispiel durchrechnen? Z.B. mit der $\begin{eqnarray*} 3\times 3 \end{eqnarray*}$ -Matrix, die wir uns vor ein paar Tagen angesehen haben?

Edit: Die ist vielleicht nicht ganz so geeignet, da es nur einen Invariantenteiler gibt, der keine Einheit ist. Versuchs mal mit $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}2& \\ 1&2 \\ &&2 \\ &&1&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

25.01.2011, 16:41

hnky

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vielen dank für deine ausführliche erklärung.

ich muss mir das allerdings erstmal in ruhe durch den kopf gehen lassen und melde mich in den nächsten tagen nochmal zu diesem thema (wenn ich wieder etwas mehr zeit habe).

11.02.2011, 17:13

hnky

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so, ich habe mir das nun 2 wochen lang durch den kopf gehen lassen, und verstehe es immer noch nicht.

$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 2&4\end{pmatrix} \in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mu_A(X)=\chi_A(X)=X^2-5X=X(X-5) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wenn du einen Vektor $\begin{eqnarray*} v \in \mathbb{R}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ auswählst, der nicht Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist, so wird deine Matrix bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} (v,Av) \end{eqnarray*}$ die Gestalt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0 \\1&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ haben. Dies ist gerade die Begleitmatrix von $\begin{eqnarray*} X^2-5X \end{eqnarray*}$ .

das ergibt für mich momentan noch keinen sinn.

die eigenräume von A sind $\begin{eqnarray*} V_1=<\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_2=<\begin{pmatrix} \frac12 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

ich nehme mir nun einen vektor, beispielsweise $\begin{eqnarray*} v:=(5,9)^T \end{eqnarray*}$ .
dieser ist linear unabhängig von den beiden obigen eigenvektoren, liegt also somit nicht in den eigenräumen und ist somit selber kein eigenvektor.

dann ist $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 23 \\ 46 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ eine basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ .

wie kann ich nun eine abbildungsmatrix bestimmen, die diese basis abbildet, wo ich doch selber keine abbildung gegeben habe, oder beziehst du dich hierbei auf die von der Matrix A induzierten linearen abbildung?

das nächste problem liegt beim zyklischen Vektorraum.

du hast ihn so definiert: $\begin{eqnarray*} \langle v \rangle _A := \langle v, ~ Av , ... , A^{n-1}v\rangle \end{eqnarray*}$ .

mir ist nicht klar, warum $\begin{eqnarray*} (v,Av,...,A^{n-1}v \end{eqnarray*}$ eine basis eines raumes sein sollte. es kann dabei doch vorkommen, dass v linear abhängig von seinen bildern unter den potenzen der matrix ist?

zumindest denke ich, dass dies nicht für jedes v und jede matrix A zutrifft.
müssen also entsprechende anforderungen an v gestellt werden?

bei google hab ich bereits verschiedenes im zusammenhang mit zyklischen vektorräumen gesehen, manchmal ist $\begin{eqnarray*} v \in Kern(A^{n}) \end{eqnarray*}$ , und manchmal einfach nur beliebig.

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zum ursprünglichen problem: ich habe es zwischenzeitlich geschafft, die transformationsmatrix zu erhalten, mit dem ich meine matrix auf frobeniusform bringen konnte. jedoch gelang mir das ganze bloß durch ausprobieren, und deshalb bin ich unsicher, ob ich bloß glück gehabt hatte, oder es wirklich allgemein auch so funktioniert (bisher fehlte mir die zeit, dies an anderen beispielen zu verifizieren)

alle zwischenschritte hier zu posten, würde wohl den ganzen abend dauern, deshalb versuche ich mal, es so gut wie möglich zu umschreiben:

1) ich habe zunächst die charakteristische matrix zu meiner gegeben matrix gebildet, und diese danach auf smith-normalform gebracht, und mir dabei alle umformungen notiert.

2) danach habe ich jede umformung durch eine entsprechende elementarmatrix darstellt, und so alle zeilenunformungen zusammen multipliziert zu einer matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und analog für alle spaltenumformungen zu einer matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

3) $\begin{eqnarray*} B,C \end{eqnarray*}$ sind invertierbar als produkt von elementarmatrizen(determinantenmultiplikationssatz) und somit habe ich $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ gebildet.

4) danach habe ich $\begin{eqnarray*} B^{-1}C \end{eqnarray*}$ gerechnet und eine matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ erhalten.

5)dann habe ich gesehen, dass in meiner matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ polynom einträge stehen, dann habe ich (und ich hoffe insbesondere dieser schritt ist erlaubt) $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ als summe mehrerer einzelnen matrizen geschrieben.
die erste matrix bestand aus den konstanten koeffiezienten der polynomeinträge.
die zweite aus den koeffiezienten von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , und die dritte aus den koeffizienten zu $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$
(ich bin von einer 3x3 matrix ausgegangen, also war der größte grad der vorkommenden polynom-eintrage 2), sodass ich praktisch diese form habe:

$\begin{eqnarray*} S=P_1+xP_2+x^2P_3 \end{eqnarray*}$ (x ließ sich als faktor rausziehen und $\begin{eqnarray*} P_i \end{eqnarray*}$ sind wie oben beschrieben)

6) danach habe ich meine ursprüngliche matrix A in die matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , die von S abhängt, hinein substituiert, und das ganze ausgerechnet(das war eine ewige, blöde rumrechnerei).

das ergebnis dieser rechnung überraschte mich dann selber: ich erhielt eine matrix $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , die genau das macht, was ich wollte.
(sie war außerdem invertierbar)

damit erhielt ich dann $\begin{eqnarray*} T^{-1}AT=N \end{eqnarray*}$ , wobei N die frobenius-normalform der matrix A ist.

ich kann nicht erklären, warum mein vorgehen mich zum ziel führte, allerdings hat es geklappt, und das war sehr faszinierend, auch wenn es eine stundenlange rumrechnerei mit sich führte.

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