Zufallsgrößen

25.01.2011, 10:33

anfänger21

Zufallsgrößen

Guten Morgen,

ich bin gerade auf eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X(\omega) = \omega^2 \end{eqnarray*}$ gestoßen.

Wie genau ist das zu verstehen mit dem $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn z.B. X : $\begin{eqnarray*} \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zufallsgröße ist zum Münzwurf , also

$\begin{eqnarray*} X: \{Kopf, Zahl\} \rightarrow \{0,1\} \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ Da Kopf und Zahl ja keine Zahlen sind ?

Oder geht das dann mit diesem Beispiel nicht, aber z.B. bei einem Würfelexperiment?

25.01.2011, 11:57

Math1986

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RE: Zufallsgrößen

Zitat:

Original von anfänger21
Guten Morgen,

ich bin gerade auf eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X(\omega) = \omega^2 \end{eqnarray*}$ gestoßen.

Wie genau ist das zu verstehen mit dem $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn z.B. X : $\begin{eqnarray*} \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Zufallsgröße ist zum Münzwurf , also

$\begin{eqnarray*} X: \{Kopf, Zahl\} \rightarrow \{0,1\} \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ Da Kopf und Zahl ja keine Zahlen sind ?

Oder geht das dann mit diesem Beispiel nicht, aber z.B. bei einem Würfelexperiment?

Das geht natürlich nur wenn $\begin{eqnarray*} \omega^2 \end{eqnarray*}$ definiert ist, poste mal den Kontext in dem das eingeführt wurde

25.01.2011, 12:32

anfänger21

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RE: Zufallsgrößen
ok,

Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak A, P)=([0,1], \mathfrak B_{[0,1]},\lambda) \end{eqnarray*}$ sei die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X(\omega)=\omega^2 \end{eqnarray*}$ definiert.

Also bildet hier $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ab und die Urbilder von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegen in $\begin{eqnarray*} \mathfrak B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$

Ok, dann versteh ich das jetzt . Danke schön. smile

Was ich auch nicht weiß ist, welche Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathfrak B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ liegen. Gibt es jetzt überhaupt irgendeine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset [0,1] \end{eqnarray*}$ die nicht in $\begin{eqnarray*} \mathfrak B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ liegt?

Oder allgemein, wie kann ich mir merken , welche Mengen Borelmengen sind? Ich weiß nur das Intervalle Borel Mengen sind und damit auch die Vereinigungen , Durchschnitte etc. da halt $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ Sigma Algebra ist.

25.01.2011, 13:02

René Gruber

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Zitat:

Original von anfänger21
Gibt es jetzt überhaupt irgendeine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \subset [0,1] \end{eqnarray*}$ die nicht in $\begin{eqnarray*} \mathfrak B_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ liegt?

Ja, die gibt es - allerdings sind die ziemlich "exotischer" Natur, ihre Gestalt entzieht sich so ziemlich jedem Vorstellungsvermögen. Wenn du im Board nach "nicht messbare Menge" o.ä. suchst, dürftest du einiges dazu finden.

Zitat:

Original von anfänger21
Oder allgemein, wie kann ich mir merken , welche Mengen Borelmengen sind? Ich weiß nur das Intervalle Borel Mengen sind und damit auch die Vereinigungen , Durchschnitte etc. da halt $\begin{eqnarray*} \mathfrak B \end{eqnarray*}$ Sigma Algebra ist.

Das ist doch schon mal was, beliebige endliche oder sogar abzählbare Vereinigungen und Durchschnitte von offenen, halboffenen oder geschlossenen Intervallen (zu letzteren zählen z.B. auch einzelne Punkte). Es dürfte äußerst selten sein, dass dir in praktischen Anwendungsfällen mal was begegnet, was nicht in diese Kategorie passt. Augenzwinkern

25.01.2011, 13:19

anfänger21

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Irgendwie so schlecht greifbar das alles Augenzwinkern

.

Ich hab was von Vitali Menge gelesen. Vermute mal du meinst diese.

Besten Dank für die Erklärung !

25.01.2011, 15:44

Math1986

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Zitat:

Original von anfänger21
Ich hab was von Vitali Menge gelesen. Vermute mal du meinst diese.

Diese sind zumindest nicht messbar.

Es gibt da auch noch das Banach-Tarski-Paradoxon, nach dem du eine Kugel in nicht-messbare Teilmengen derart zerlegen kannst, dass du sie hinterher wieder zu 2 Kugeln des selben Volumens zusammensetzen kannst.
Damit wird denke ich auch klar, weshalb diese Bedingung zwar sehr schwach, aber dennoch essentiell ist.
Sowas möchte man natürlich in der Wahrscheinlichkeitstheorie ausschliessen. smile

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