suche Algorithmus fuer Extrema

25.01.2011, 10:23

Hm?

suche Algorithmus fuer Extrema

Hi Leute,

ich soll vier Aufgaben von dem Typ:

f:R->R $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +ax^{2} +bx \end{eqnarray*}$

loesen.

leider hab ich's nicht in das tutorium geschaft und die mitschrift die mir nen kumpel geshcikt hat, erthaelt nur die halbe beispielaufgabe (+unglaublich viele mit eingescannte kruemel).

ich hab im netz gesucht, aber algorithmus beschreibung gefaunden, dir mir gefallen hat, weil ich kann dass doch jetzt nicht loesen wie inner schule ^^

ich hab angefangen die nullstellen zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} 0=x(x^{2} +ax+b) \Rightarrow x_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(x^{2} +ax+b) \Rightarrow x_2/x_3=\frac{-a}{2} +-\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}-b } =\frac{-a}{2} +-\sqrt{\frac{(a+4b) (a+4b)}{4} } \end{eqnarray*}$

womit ich es irgendwie gerade nichtmal schaffe die nullstellen zu berechnen... unser thema ist gerade taylor und partialbruch zerlegung, eine tayleraufgabe habe ich bereits geschaft (da hatte ich ein beispiel vom tutorium)

weiter muesste ich um das lokale und globale extremum zu bestimmen, die ableitung bilden und schauen ob die an den nullstellen null wird, richtig? die untscheide ich ein lokales von einem globalen minimum?

falls jemand eienn guiten link dazu hat, war dass richtig gut. smile

25.01.2011, 10:32

klarsoweit

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
$\begin{eqnarray*} 0=(x^{2} +ax+b) \Rightarrow x_2/x_3=\frac{-a}{2} +-\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}-b } =\frac{-a}{2} +-\sqrt{\frac{(a+4b) (a+4b)}{4} } \end{eqnarray*}$

Wie kommst du von $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{a}{2})^{2}-b } \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(a+4b) (a+4b)}{4} } \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Hm?
weiter muesste ich um das lokale und globale extremum zu bestimmen, die ableitung bilden und schauen ob die an den nullstellen null wird, richtig?

Unfug. Man braucht die Nullstellen der ABleitung.

Zitat:

Original von Hm?
die untscheide ich ein lokales von einem globalen minimum?

Du mußt noch zusätzlich die Ränder des Definitionsbereichs untersuchen.

25.01.2011, 10:35

Manni Feinbein

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
Hi Leute,

ich soll vier Aufgaben von dem Typ:

f:R->R $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +ax^{2} +bx \end{eqnarray*}$

loesen.

Wie lautet denn die Aufgabe?

Zitat:

Original von Hm?
leider hab ich's nicht in das tutorium geschaft und die mitschrift die mir nen kumpel geshcikt hat, erthaelt nur die halbe beispielaufgabe (+unglaublich viele mit eingescannte kruemel).

So so...

Zitat:

Original von Hm?
ich hab im netz gesucht, aber algorithmus beschreibung gefaunden, dir mir gefallen hat, weil ich kann dass doch jetzt nicht loesen wie inner schule ^^

Zitat:

Original von Hm?
ich hab angefangen die nullstellen zu berechnen:

Warum, war das etwa die Aufgabe?

25.01.2011, 10:52

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von klarsoweit

Wie kommst du von $\begin{eqnarray*} \sqrt{(\frac{a}{2})^{2}-b } \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(a+4b) (a+4b)}{4} } \end{eqnarray*}$ ?

[/quote]

ich meinte : $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(a+4b) (a-4b)}{4} } \end{eqnarray*}$

aber das bringt mir nicht viel.\

die aufgabe lautet:

untersuche die folgenden funktionen auf lokale und globale extrema:

f:R->R, $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +ax^{2} +ax \end{eqnarray*}$

die ableitung waere:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^{2} +2ax +a \end{eqnarray*}$

koennt ihr mir den algorithmus kurz nennen? oder nen guten link?
fuer mich sieht das ganze nach fallunterscheidung aus, in positive a,b und negative a,b, eventuell auch in a pos. und b negativ.

25.01.2011, 10:57

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
ich meinte : $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(a+4b) (a-4b)}{4} } \end{eqnarray*}$

Auch das ist falsch.

Zitat:

Original von Hm?
f:R->R, $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3} +ax^{2} +ax \end{eqnarray*}$

Ursprünglich war das mal $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 + ax^2 + bx \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Hm?
koennt ihr mir den algorithmus kurz nennen? oder nen guten link?

Das ist Schulwissen. Mögliche lokale Extrema (einer differenzierbaren Funktion) befinden sich nur an den Nullstellen der 1. Ableitung.

26.01.2011, 13:44

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
ok (hab paar alte aufgaben abgeklaert usw).

die ableitung von f(x) ist f'(x)=3x^2+2ax+b wobei a,b reele zahlen sind

jetzt muss ich also, um moegliche extrama zu finden, diese gleichung loesen:

3x^2+2ax+b=0

das problem ist, dass ich a,b unbekannt habe, habt ihr da ein paar tricks die man anwenden koennte? wenn ich einfach die pq formel anwende krieg ich was ziemlich grosses

ein kumpel will es mit fallunterscheidung versuchen, aber ich sehe nicht was das bringen sollte.

habt ihr da was auf lager?

26.01.2011, 13:46

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
das problem ist, dass ich a,b unbekannt habe, habt ihr da ein paar tricks die man anwenden koennte? wenn ich einfach die pq formel anwende krieg ich was ziemlich grosses

Das ist wohl unvermeidlich, wenn a und b nicht bekannt sind. Aber dafür sind wir hier ja auch im Hochschulbereich, wo die Aufgaben auch mal etwas anspruchsvoller sein dürfen. Augenzwinkern

26.01.2011, 14:07

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
mit der pq formel erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} x_1/x_2= -a\pm \sqrt{a^{2} -b} \end{eqnarray*}$

und f''(x)=6x+2a

ich setze jetzte beide nullstellen von f'(x) in f''(x) ein und schaue obs kleiner oder groesser null ist.

fuer die erste nullstelle von f'(x) erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=-6a+6\cdot \sqrt{a^{2}-b } \end{eqnarray*}$

jetzt muesste ich eine fallunterscheidung wagen um zur loesung zu kommen? da weiss ich jetzt nach welchem prozedere ich vorgehen sollte.
wenn es groesser null ist habe ich damit einen tiefpunkt, wenns kleiner ist einen hochpunkt ?

apropro vorgehen, muss ich noch belegen ob die funktion stetig ist?
der unterschied zwischen globalem und lokalen extrma ist mir leider auch noch nicht klar unglücklich

26.01.2011, 14:15

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
Die pq-Formel kannst du nicht unmittelbar auf $\begin{eqnarray*} 3x^2+2ax+b=0 \end{eqnarray*}$ anwenden. Da mußt du vorher noch eine Umformung machen.

26.01.2011, 15:00

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
stimmt, danke

ich hab also:

$\begin{eqnarray*} x_1/x_2=\frac{-a}{3} \pm \sqrt{(\frac{a}{3})^{2} -\frac{b}{3} } =\frac{-a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2-b} }{3} } \end{eqnarray*}$

also waere

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=6\cdot (-\frac{a}{3} +\sqrt{\frac{a^{2}-b }{3}}) +2a= \sqrt{12\cdot (a^{2}-b) } \end{eqnarray*}$

also weiss ich dass das vorzeichen von a egal ist (zumindest hier), aber was ist mit b? ist gibt wie ich das sehe sogar reellezahlen fuer die das ganze nicht definiert ist

26.01.2011, 15:03

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
aber ich weiss fuer alles definierte gilt: f''(x_1)>0 egal welches a, b man waehlt

also hab ich bei x_1 einen tiefpunkt? was ist mit den stellen die nicht definmiert sind?

26.01.2011, 15:05

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
ich hab also:

$\begin{eqnarray*} x_1/x_2=\frac{-a}{3} \pm \sqrt{(\frac{a}{3})^{2} -\frac{b}{3} } =\frac{-a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^{2-b} }{3} } \end{eqnarray*}$

Und wieder hat die Bruchrechnung ein Opfer gefunden. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} = \frac{-a}{3} \pm \sqrt{(\frac{a}{3})^2 - \frac{b}{3}} = \frac{-a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^2 - 3b}{9} } \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 19:39

Hm?

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema
ok, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=\sqrt{4\cdot (a^{2}-b )} >0 \end{eqnarray*}$ für alle b für die f''(x) definiert ist

und

$\begin{eqnarray*} f''(x_2)=-\sqrt{4\cdot (a^{2}-b )} <0 \end{eqnarray*}$ für alle b für die f''(x) definiert ist

also habe ich einen lokalen hochpunkt bei x_2 und eienn lokalen tiefpunkt bei x_1.

was ist mit den reellen b für die f''(x) nicht definiert ist? wie ermittle ich ob es globale extrema sind?

27.01.2011, 07:50

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RE: suche Algorithmus fuer Extrema

Zitat:

Original von Hm?
$\begin{eqnarray*} f''(x_1)=\sqrt{4\cdot (a^{2}-b )} >0 \end{eqnarray*}$ für alle b für die f''(x) definiert ist

und

$\begin{eqnarray*} f''(x_2)=-\sqrt{4\cdot (a^{2}-b )} <0 \end{eqnarray*}$ für alle b für die f''(x) definiert ist

Mit der Wurzelrechnung hast du es nicht so. Wie bist du jetzt darauf gekommen?

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