Schnittpunkt von zwei Zylindern

25.01.2011, 14:31

Joerg1978

Schnittpunkt von zwei Zylindern

Meine Frage:
Hallo,
nachdem ich mich einige Tage mit eigenen Ansätzen und googlen geqäult habe, hoffe ich auf ein bisschen Hilfe von hier. Wahrscheinlich ist die Aufgabe gar nicht so schwer - mir wahrscheinlich nur der entsprechende Background.
Zur Aufgabe: Für eine Simulation müßte ich berechnen, ob und wo sich zwei Zylinder schneiden.

$\begin{eqnarray*} Z1: \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \\ 0 \end{pmatrix} Z2: \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} cos \beta \\ sin \beta \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

v1 und v2 sind bei beiden Zylindern gleich - ebenso der Radius r.

Die Formeln sollen einen Zylinder definieren, mit Kreis auf der x,y-Ebene (wenn man das so sagen kann). Passt das?

Meine Ideen:
Zur Berechnung des Schnittpunktes:
a) Gleichsetzen der beiden Funktionen und umformen ergibt:

$\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 1 \end{pmatrix} - \mu \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} cos \beta - cos \alpha \\ sin \beta - sin \alpha \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich erhalte ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen für x,y und z

Mein Problem ist, dass ich vier Unbekannte habe - also \lambda ,\alpha und \mu, \beta

Kann ich da irgendetwas bzgl. der Winkel vereinfachen? Wäre toll wenn jemand eine Idee hätte. Mit den trigonometrischen Funktionen auf Wikipedia bin ich nicht weitergekommen, bspw.
sin \alpha = cos (1 - \alpha}

25.01.2011, 14:42

riwe

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RE: Schnittpunkt von zwei Zylindern
ich bin ja ein laie, aber ich bezweifle sehr, dass deine gleichungen zylinder beschreiben.

wenn ich dich richtig verstehe, stehen beide zylinder senkrecht auf die xy-ebene (kreis auf der xy-ebene).
dann reduziert sich das problem doch einfach auf den schnitt zweier kreise verwirrt

25.01.2011, 15:13

Joerg1978

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RE: Schnittpunkt von zwei Zylindern
Danke für Deine Antwort!

Aber es stimmt nur für den Fall, dass die Achse des Zylinders senkrecht zur x,y-Ebene ist. Das wäre (sollte) bei mir ein Sonderfall sein. Allgemein wollte ich mit der Formel beliebige "schiefe Kreiszylinder" (so heißen sie in Wikipedia) mit Kreis in x,y-Ebene darstellen.

25.01.2011, 16:47

riwe

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RE: Schnittpunkt von zwei Zylindern

Zitat:

Original von Joerg1978
Danke für Deine Antwort!

Aber es stimmt nur für den Fall, dass die Achse des Zylinders senkrecht zur x,y-Ebene ist. Das wäre (sollte) bei mir ein Sonderfall sein. Allgemein wollte ich mit der Formel beliebige "schiefe Kreiszylinder" (so heißen sie in Wikipedia) mit Kreis in x,y-Ebene darstellen.

naja, aber wenn der schnitt mit der xy-ebene ein kreis sein soll verwirrt

25.01.2011, 17:07

Joerg1978

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Es gibt ja sozusagen unendliche viele x,y-Ebenen (in Abhängigkeit von z).
Ich könnte natürlich für jede dieser Ebenen prüfen, ob die zwei Zylinder, die in diesem Fall zwei Kreise auf der Ebene darstellen, sich schneiden.

Keine Ahnung ob das einfacher ist??? Wie wäre den da der entsprechende Ansatz?

25.01.2011, 17:29

wisili

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Weil lambda und mü keinen Definitionsbereich haben, ist unklar geblieben, ob es sich wirklich um Zylinder handelt, oder um unbeschränkte Zylinderflächen. Im letzteren Fall wäre die Reduktion des Schnittproblems auf Kreise zulässig.

[attach]17793[/attach]

25.01.2011, 17:42

Joerg1978

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@wisili: Danke für den Hinweis. Mir würde eine Aussage darüber genügen, ob es einen Schnitt gibt und bei welchem z-Wert er auftritt.
Wie müssen lambda und mü denn definiert werden, um nur die Zylinderhülle zu betrachten?
Mit:

r * (cos lambda, sin lambda, 0) und lambda = 0-360° wird doch der Kreis beschrieben, oder? Der Vektor kann doch nicht auf die Punkte innerhalb des Kreises zeigen???

Weil das Bild so schön ist - gibt es irgendeine Freeware, bei der ich meine Zylinderfunktionen eingeben kann und mir das mal bildlich angucken kann?

25.01.2011, 18:19

wisili

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Wenn lambda und mü auch (wie der Winkel) nur über ein Intervall laufen, z.B. [0, 1], dann entsteht ein beschränkter Mantel (wie mit Mathematica gezeichnet).

25.01.2011, 18:46

riwe

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der schnitt mit xy ist da ein kreis - wie oben gefordert verwirrt

25.01.2011, 20:10

wisili

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Die Kreise des 3D-Körpers werden im 2D-Bild zu Ellipsen. Das ist immer so.

25.01.2011, 20:15

riwe

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Zitat:

Original von wisili
Die Kreise des 3D-Körpers werden im 2D-Bild zu Ellipsen. Das ist immer so.

das sage ich ja die ganze zeit Augenzwinkern

25.01.2011, 21:13

Joerg1978

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Mein Ziel war ja Schnittpunkte von Z1 und Z2 zu berechnen - wie in der Abbildung gezeigt, werden es wohl eher Schnittgeraden sein - stimmt das?

Leider bringen mich Eure Anmerkungen noch ncith weiter, was einen möglichen Lösungsweg betrifft - es tut mir leid. Könnt Ihr mir noch einen genaueren Tip geben, wie ich weiter Vorgehen kann oder was für einen Nutzen ich aus der Erkenntnis ziehe, dass ich Kreise in der x,y-Ebene habe?

25.01.2011, 21:24

wisili

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Wenn das System der beiden Kreisgleichungen Lösungen hat, gibt es die Schnittgerade(n), sonst nicht.
Als Erstes sind also die Zentren der Kreise zu bestimmen:

Für Z1 wäre das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} -a_3 \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

(lambda = -a3 führt zum Spurpunkt der Zylinderachse in der x-y-Ebene.)

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