Kombinatorik-Urnenmodell

25.01.2011, 15:21

Kombinatorik-Urnenmodell

Meine Frage:
In einer Urne befinden sich 37 Kugeln. 18 rote und 19 schwarze. Es soll 120 mal gezogen werden, jedes Mal mit zurücklegen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb der 120 Ziehungen 6 Mal hintereinander eine schwarze Kugel gezogen wird? Wie oft kommt dies je 120 Ziehungen vor (mit Kommazahlen)?

Meine Ideen:
Ich komme hier mit den normalen Urnenmodellen nicht weiter....
Ich glaube, dass es 115 verschieden Möglichkeiten für diese 6er Reihe gibt. Aber keine Ahnung, wie der Lösungsansatz ist...

25.01.2011, 15:24

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kombinatorik-Urnenmodell
Es handelt sich um das Urnenmodel mit Zurücklegen, das heißt die Wahrscheinlichkeit
des Ziehens ist bei jedem ziehen die Gleiche, das war Punkt 1.

Punkt 2 ist, wieviele Mögliche Anordnungen gibts es bei 120 mal ziehen, das 6
hintereinander kommen, das löst man mit Binomialkoeffizienten.

25.01.2011, 15:25

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

@AJ

Was ist, wenn mehr als sechsmal hintereinander eine schwarze Kugel gezogen wird, insbesondere auf die Zählweise in dieser Teilfrage

Zitat:

Original von AJ
Wie oft kommt dies je 120 Ziehungen vor (mit Kommazahlen)?

bezogen?

25.01.2011, 15:39

Auf diesen Beitrag antworten »

@Renè

Ich meine, die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 6 mal hintereinander schwarz gezogen wird.

Und diese Wahrscheinlichkeit dann umgerechnet darauf, wie häufig, je 120 Ziehungen, mindestens 6 mal hintereinander schwarz gezogen wird. Also ob dies der Wahrscheinlichkeit nach 1 Mal vorkommt oder häufiger oder geringer.

25.01.2011, 15:41

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt heißt es mindestens, ich dachte das genau 6 hintereinander gezogen werden.

Welches ist nun verlangt?

25.01.2011, 15:46

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AJ
Und diese Wahrscheinlichkeit dann umgerechnet darauf, wie häufig, je 120 Ziehungen, mindestens 6 mal hintereinander schwarz gezogen wird. Also ob dies der Wahrscheinlichkeit nach 1 Mal vorkommt oder häufiger oder geringer.

Ok, ich verstehe das dann jetzt so: Wenn alle 120 Ziehungen schwarz ergeben, dann ist das nach deiner Zählweise auch nur ein Ereignis (statt beispielsweise 20), weil keine Lücken drin sind? Also im Gegensatz zu

6 schwarz + 108 weiß + 6 schwarz

was dann nach dieser Zählung zwei solche Ereignisse sind? verwirrt

25.01.2011, 15:56

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Baphomet Also es soll mindestens 6 mal schwarz sein.

@ Renè Ja, sobald an irgendeiner Stelle 6 mal schwarz kommt, ist mein Ereignis, dass ich suche erfüllt.

25.01.2011, 16:02

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal genauer das Ganze:

Ich suche 1. die Wahrscheinlichkeit, wie oft mindestens 6 Mal hintereinander eine schwarze Kugel gezogen wird. Und 2. Wie oft genau 6 Mal hintereinander eine schwarze Kugel, je 120 Ziehungen, gezogen wird.

25.01.2011, 16:09

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AJ
Und 2. Wie oft genau 6 Mal hintereinander eine schwarze Kugel, je 120 Ziehungen, gezogen wird.

Das schleudert mich nun schon wieder etwas aus der Kurve: D.h., auf die zweite Frage kann die Antwort auch "Null" lauten selbst bei einer Ziehungsfolge, die die erste Frage positiv beantwortet? Dann sind das zwei doch irgendwie ziemlich voneinander getrennte Fragestellungen, natürlich beide im Rahmen dieses Problems. verwirrt

Es ist übrigens unschön, dass sich erst ein so ewig langer Dialog entspannen muss, nur um die Problemstellung klar und deutlich festzulegen. Das kenne ich zwar in der interdisziplinären Kommunikation an meinem Arbeitsplatz (mit Konstrukteuren, Ingenieuren, Marketing usw.), aber bei einem konkreten überschaubaren mathematischen Problem muss das nun wirklich nicht sein. Augenzwinkern

25.01.2011, 16:27

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es sind schon zwei Fragen. Aber zur gleichen Ausgangslage.
Für mich ist letztendlich nur wichtig zu wissen, wie oft es der Wahrscheinlichkeit nach vorkommt, dass 6 Mal hintereinander eine schwarze Kugel gezogen wird, innerhalb der 120 Ziehungen. Sollten 6 erreicht sein, wird weiter gezogen bis die 120 Ziehungen durch sind. Vielleicht kommt es ja auch ein zweites Mal innerhalb dieser 120 Ziehungen vor. Ich möchte halt gerne wissen, wie oft dies vorkommen kann. Sollte die Wahrscheinlichkeit bei unter 1 Mal liegen, wäre das gut für mich.
Soweit verstanden?

25.01.2011, 17:20

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei "Sollte die Wahrscheinlichkeit bei unter 1 Mal liegen" rollen sich mir wieder die Fußnägel hoch: Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1 - was du meinst, ist vermutlich der Erwartungswert der Anzahl der 6er-Sequenzen.

Egal, damit es hier endlich mal konstruktiv wird, konzentriere ich mich auf die erste Teilfrage, zumindest die scheint mir ausreichend geklärt:

Zitat:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 120 Ziehungen mindestens einmal mindestens 6 schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden.

verallgemeinert zu

Zitat:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p_m(n) \end{eqnarray*}$ , dass bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziehungen mindestens einmal mindestens $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden.

Die Sache ist fraglos eklig, wenn man die explizit theoretisch durchrechnen will. Man kann schnell einen Ansatz über die Siebformel aufstellen, aber bei der konkreten Berechnung versinkt man im Wust der Wahrscheinlichkeiten der zu berechnenden Durchschnitte.

Rekursiv, und zwar mit Computerunterstützung ist einiges drin:

Es sei $\begin{eqnarray*} p_m(n,k) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeit, dass bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Ziehungen mindestens mindestens einmal mindestens $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ schwarze Kugeln hintereinander gezogen werden und zugleich am Schluss eine

im Fall $\begin{eqnarray*} k<m \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , und
im Fall $\begin{eqnarray*} k=m \end{eqnarray*}$ mindestens $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$

Kugeln umfassende Sequenz schwarzer Kugeln steht. Diese Wahrscheinlichkeiten kann man durch eine Rekursion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ berechnen. Das zweite Argument $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist nur ein Hilfskonstrukt, um Iterationsgleichungen zu ermöglichen, am Ende interessiert uns nur die Summe $\begin{eqnarray*} p_m(n) := \sum_{k=0}^m p_m(n,k) \end{eqnarray*}$ .

Die Iteration für $\begin{eqnarray*} n\geq m \end{eqnarray*}$ lautet dann jedenfalls

$\begin{eqnarray*} p_m(n,0) &=& \frac{18}{37} \cdot p_m(n-1) \\ p_m(n,k) &=& \frac{19}{37} \cdot p_m(n-1,k-1) \quad \textrm{für}\; 1\leq k\leq m-1 \\ p_m(n,m) &=& \left( \frac{19}{37} \right)^m\\ p_m(n) &=& \sum_{k=0}^m p_m(n,k) \end{eqnarray*}$ .

mit den Startwerten $\begin{eqnarray*} p_m(n,k)=p_m(n)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq n< m \end{eqnarray*}$ . Du interessierst dich also für $\begin{eqnarray*} p_6(120) \approx 0.666874 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Gut möglich, dass man durch Entwirrung dieser Rekursion oder auf anderem Weg doch noch zu einer erträglichen expliziten Formeldarstellung kommt, aber das überlasse ich jetzt anderen. Augenzwinkern

25.01.2011, 17:51

Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet das nun, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66,6874 % eine 6er-Sequenz innerhalb 120 Ziehungen vorkommt?

25.01.2011, 18:11

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AJ
Bedeutet das nun, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66,6874 % mindestens eine >6er-Sequenz innerhalb 120 Ziehungen vorkommt?

In dem präzisierten Sinne: Ja

25.01.2011, 18:23

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank für die Berechnung.
Eine Nachfrage hätte ich aber noch.
Wieviele Ziehungen darf ich denn höchstens haben, um auf eine Wahrscheinlichkeit von unter 50% zu kommen?

25.01.2011, 18:53

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von René Gruber

Zitat:

Original von AJ
Bedeutet das nun, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 66,6874 % mindestens eine >6er-Sequenz innerhalb 120 Ziehungen vorkommt?

In dem präzisierten Sinne: Ja

Heißt also auch, dass es durschnittlich mehr als ein Mal, je 120 Ziehungen, passiert?

25.01.2011, 18:55

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird so sein - aber aus der obigen Wahrscheinlichkeit allein kann man das nicht folgern.

25.01.2011, 19:43

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso denn nicht, wenn die Wahrscheinlichkeit bei über 50 % liegt??

25.01.2011, 19:48

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt schon, was der Erwartungswert ("mittlere Anzahl") ist? Wenn $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl von 6er-Blöcken ist, und wir nur $\begin{eqnarray*} P(N\geq 1) \approx 0.67 \end{eqnarray*}$ wissen, können wir daraus NICHT $\begin{eqnarray*} E(N)>1 \end{eqnarray*}$ folgern!!! Allenfalls die Abschätzung $\begin{eqnarray*} E(N)\geq P(N\geq 1) \end{eqnarray*}$ ist ohne weitere Informationen möglich.

25.01.2011, 20:58

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. das kann ich nicht so ganz nachvollziehen. Bin ja auch noch nicht wirlich fit in dem Thema.
Wenn die Wahrscheinlichkeit bei über 50 % liegt dass eine 6er oder höhere Sequenz auftritt, dann kann man doch sagen, dass es im Durchschnitt öfter vorkommt, als nicht vorkommt bei mehreren 120er Ziehungen. Oder nicht?

25.01.2011, 22:11

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AJ
dann kann man doch sagen, dass es im Durchschnitt öfter vorkommt, als nicht vorkommt bei mehreren 120er Ziehungen.

Das bedeutet lediglich $\begin{eqnarray*} P(N\geq 1) \geq P(N=0) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} P(N\geq 1) \geq 0.5 \end{eqnarray*}$ . Woraus - ich wiederhole mich - NICHT $\begin{eqnarray*} E(N)\geq 1 \end{eqnarray*}$ gefolgert werden kann. Und das ist mein letztes Wort zu diesem Thema.

25.01.2011, 22:20

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich dafür zu dumm bin bzw. noch nicht soweit im Matheunterricht.
Aber ja, es scheint, dass ich die mittlere Anzahl suche und wissen möchte, ob diese Anzahl unter 1 liegt.

25.01.2011, 22:28

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst also das zweite Teilproblem betrachten - welches auch immer das genau ist, da du es bei jedem Mal ja anders erzählt hast. Auch deine Antwort auf die Anfrage von wisili (im unnötigerweise aufgemachten zweiten Thread) war ziemlich erschreckend an dem vorbei, was du hier zum besten gegeben hast.

Nochmal: Ich kritisiere nicht, dass du die Sachen hier nicht zu berechnen vermagst. Was ich kritisiere ist, dass du es nach mehrfacher Nachfrage nicht auf die Reihe kriegst, das Problem klar und unmissverständlich zu formulieren - so dass man als Helfer auch mal das Gefühl hat, auf sicheren Boden zu stehen. Nein, es ist schwammiger und glibbriger Grund. unglücklich

26.01.2011, 06:28

Auf diesen Beitrag antworten »

Das tut mir wirklich leid. Ist echt total schwierig das Problem klar zu benennen.
Ich möchte halt nur wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass genau einmal diese 6er Sequenz auftritt, innerhalb der 120 Ziehungen.
So dass man am Ende sagen kann, wie häufig, je 120 Ziehungen, eine 6er Sequenz vorkommt. Z.B. 1 Mal oder 1,3 Mal oder 0,4 Mal...
Damit man einschätzen kann, ob es wahrscheinlich ist, dass bei vielen 120er Ziehungsdurchgängen, eine 6er Sequenz kommt oder eher nicht.
Wenns nur bei jedem zweiten 120er Ziehungsdurchgang passiert ist es gut. Wenn im Mittel bei jeder 120er Ziehung vorkommt, ist es schlecht.
Ist das soweit verständlich? Ich hoffe es... :-(

Neue Frage »

Antworten »

Kombinatorik-Urnenmodell

Verwandte Themen