Gammafunktion (1/a)

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25.01.2011, 16:06	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Gammafunktion (1/a) Meine Frage: Man zeige für a>0 gilt: $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! e^{-x^{a} } \, dx = \frac{1}{a} \Gamma (\frac{1}{a} ) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nach Definition ist ja: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \Gamma (\frac{1}{a} ) = \frac{1}{a} \int_0^\infty \! t^{\frac{1}{a} -1} \e^{-t} , dt \end{eqnarray}$ Und insbesondere: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \Gamma (\frac{1}{a})=\Gamma (\frac{1}{a}+1) \end{eqnarray*}$ Aber ich bin mir immer nocht nicht ganz sicher wie ich da konkrete Werte ausrechnen kann bzw. die Gleichheit oben zeigen kann. Danke schonmal für die Hilfe. Joghurt
25.01.2011, 17:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt nur $\begin{eqnarray} x^a = t \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x = t^{\frac{1}{a}} \end{eqnarray}$ substituieren.
25.01.2011, 18:18	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie komme ich trotz deinem vorschlag nicht wirklich voran. Nach langem rumrechnen bin ich jetzt auf dieses Zwischenergebnis gekommen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \int_0^\infty \! x^{1-a} e^{-t} \, dx =\int_0^\infty \! e^{-t} \, dt =\left[\frac{e^{-t}x^{2-a} }{2a-a^{2} } \right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray}$ Bin ich denn wenigstens auf der richtigen Spur und durfte ich alle bisherigen Umformungen machen. Ich habe einfach nur vor zz, dass auf beiden Seiten Null steht. Ist wahrscheinlich nicht das eleganteste aber anders weis ich mir leider nicht zu helfen. Nun sieht es aber doch wie eine Sackgasse aus...
25.01.2011, 18:25	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das weiterführe komme ich zu der bizarren Erkenntnis, dass: $\begin{eqnarray} \infty = 2a-a^2 \end{eqnarray}$
25.01.2011, 18:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung ist mir völlig unbegreiflich. Da kommen gleichzeitig $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ vor. Ich verstehe das nicht. Befolge meinen Rat und substituiere im ersten Integral deines ersten Beitrags. Die Substitutionsregel kennst du?
25.01.2011, 18:48	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! e^{-x^{a} } \, dx = \int_0^\infty\! e^{-t} \, dt=\left[-e^{-t} \right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray}$ das sollte doch stimmen oder ist was an den grenzen falsch, da es ja ein uneigentliches integral ist? aber sonst würde da 1 rauskommen. und wie bringe ich das dann in verbindung mit dem was auf der rechten seite steht?
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25.01.2011, 18:54	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar ist dir die Substitutionsregel für Integrale nicht bekannt. So geht das jedenfalls nicht. Schau hier, insbesondere bei den Beispielen.
25.01.2011, 19:00	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok demnach müsste meine untere Grenze 1 sein richtig? Ich war mir nur nicht so sicher, wegen dem Unendlich wie ich das da handzuhaben habe. Dann wäre aber das Ergebnis der Intergrals immernoch e, was mir komisch vorkommt.
25.01.2011, 19:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm dir erst einmal die Substitutionsregel vor (siehe Link oder Beispiele durch Suche hier im Board). Vorher lohnt es sich nicht, hier weiterzumachen. Wenn du dann so weit bist, meldest du dich wieder.
25.01.2011, 19:39	Joram Schirmaier	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich hatte einfach nur vergessen dass ich die substitution ableiten muss, tut mir leid. jedenfalls habe ich jetzt nach dem substituieren raus: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \int_0^\infty \! e^{-t}t^{1-\frac{1}{a} } \, dt \end{eqnarray}$ soweit sollte das jetzt richtig sein. Aber wie kann ich nun zeigen, dass es dasselbe ist wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \int_0^\infty \! t^{\frac{1}{a} -1} e^{-t} \, dt \end{eqnarray}$ ist. da ist noch was verdreht! Oder habe ich mich wieder nur verrechnet?
25.01.2011, 19:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da ist etwas verdreht. Und ich weiß nicht, warum du es verdreht hast.

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