Beweis Reihensumme

25.01.2011, 16:54

Beginnerboy

Beweis Reihensumme

$\begin{eqnarray*} Hallo MatheBoard! Beweisen \ Sie \ fuer \ z \in \mathbb C, | z | < 1 \ und \ k \in \mathbb N_0 : \frac{1}{(1-z)^{k+1}} = \sum\limits_{v=1}^\infty \begin{pmatrix} v+k \\ v \end{pmatrix} z^v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Kann \ mir \ da \ jmd \ einen \ Ansatz \ liefern? \ Komme \ auf \ keinen \ gruenen \ Zweig.. \ Waere \ nett! \end{eqnarray*}$

25.01.2011, 16:54

Airblader

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Edit: Quatsch.

air

25.01.2011, 21:13

Manni Feinbein

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RE: Beweis Reihensumme
Es sollte wohl eher

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^{k+1}}=\sum_{n=0}^\infty {n+k\choose k}z^n \end{eqnarray*}$

heißen.

Beweisen kann man das per Induktion wobei die Cauchysche Produktformel im Induktionsschritt ganz nützlich ist.

Folgende Identität könnte dabei hilfreich sein:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n{j+k\choose j}={n+k+1\choose n}. \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 13:57

Beginnerboy

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danke erstmal für die hilfe & ja, sorry die Summe geht von $\begin{eqnarray*} v = 0 \ bis \ \infty \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^{k+1}}=\sum_{v=0}^\infty {v+k\choose v}z^v \end{eqnarray*}$ .

Wie verwende ich die Identität $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n{j+k\choose j}={n+k+1\choose n} \end{eqnarray*}$ denn in Bezug auf meine Aufgabe? Die obere Grenze ist ja einzusetzen, wie setze ich jedoch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ein?

26.01.2011, 14:11

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Beginnerboy
Wie verwende ich die Identität $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n{j+k\choose j}={n+k+1\choose n} \end{eqnarray*}$ denn in Bezug auf meine Aufgabe? Die obere Grenze ist ja einzusetzen, wie setze ich jedoch $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ein?

Folge meinem Hinweis und Deine Frage wird sich von selbst beantworten.

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