Summenberechnung

25.01.2011, 17:19

Snatcher

Summenberechnung

Hallo Matheboard,

Meine Aufgabe lautet die folgende Summe zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{2} (\frac{3}{4})^{n} \end{eqnarray*}$

Ist hierbei die geometrische Reihe der günstigste Ansatz? Ich weiß nämlich nicht genau, wie ich den hierbei anwenden soll.

lg

25.01.2011, 17:38

Leopold

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Ja, das geht mit der geometrischen Reihe. Beginne mit

$\begin{eqnarray*} y = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

und differenziere zweimal:

$\begin{eqnarray*} y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \, , \ \ y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2) x^n \end{eqnarray*}$

Der Trick ist jetzt, daß man $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ durch die Koeffizienten der drei Reihen ausdrückt, also

$\begin{eqnarray*} n^2 = (n+1)(n+2) - 3(n+1) + 1 \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibe die gesuchte Reihe mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} y,y',y'' \end{eqnarray*}$ .

26.01.2011, 14:33

MatheCons

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Hi,
muss die gleiche Aufgabe lösen und komme auch nicht so recht weiter..

also erhält man: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 4(n+1)(n+2)-3(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ ?

Lässt sich das dann noch weiter vereinfachen?

lg

26.01.2011, 14:49

Manni Feinbein

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RE: Summenberechnung
Du kannst auch den Cauchyschen Multiplikationssatz benutzen.

Betrachte dazu:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac 1{1-x}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^nx^n\right)=\sum_{n=0}^\infty(n+1)x^n\Longrightarrow\sum_{n=0}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt berechne einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac x{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty nx^n\cdot\sum_{n=0}^\infty x^n=\ldots \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 17:22

Leopold

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Zitat:

Original von MatheCons
also erhält man: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 4(n+1)(n+2)-3(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ ?

Wer sagt denn so etwas! Ich jedenfalls nicht.

27.01.2011, 12:54

MatheCons

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mh ich dachte
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^n = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} n^2 = (n+1)(n+2) - 3(n+1) + 1 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich das zusammenfasse komme ich auf

Zitat:

also erhält man: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty 4(n+1)(n+2)-3(n+1)+1 \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2011, 13:12

René Gruber

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Das ist eine Zusammenfassung von Äpfeln und Birnen, oder vielleicht eher von Äpfeln und Autos. Augenzwinkern

Die unmittelbare Folgerung aus $\begin{eqnarray*} n^2 = (n+1)(n+2) - 3(n+1) + 1 \end{eqnarray*}$ ist zunächst sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty n^2 \left( \frac{3}{4} \right)^n = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)(n+2) \left( \frac{3}{4} \right)^n ~-~ 3\sum\limits_{n=0}^\infty (n+1) \left( \frac{3}{4} \right)^n ~+~ \sum\limits_{n=0}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^n \end{eqnarray*}$ ,

und dann kannst du mit den weiteren Erkenntnissen aus Leopolds Beitrag die drei Reihen rechts berechnen.

27.01.2011, 13:41

MatheCons

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okay danke dir, ich werds gleich mal versuchen.

30.01.2011, 00:24

Loukizzz

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Hi Leute,
hab das soweit verstanden und bin erstaunt was hier für Gedankengänge losgehen ^^ ,
aber den letzten Kommentar bzgl. Leopolds Beitrag versteh ich leider nicht, hab einiges ausprobiert, aber komm da einfach nicht weiter, könnte das mal noch jemand ausführen ? Ist das jetzt schon die Linearkombination, oder wie macht man das ?
mfg

30.01.2011, 15:12

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n \ = \ \sum_{n=0}^{\infty} \left( (n+1)(n+2) - 3(n+1) + 1 \right) x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \ \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2) x^n \ - \ 3 \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \ + \ \sum_{n=0}^{\infty} x^n \ = \ f''(x) - 3 f'(x) + f(x) \end{eqnarray*}$

Und das muß man dann an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ auswerten.

30.01.2011, 15:38

Loukizzz

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Ist mir schon klar Big Laugh

aber wie soll man das auswerten ? Finde einfach keine Formel mit der ich das dann umformen kann sodass ich auf nen berechenbaren Term komme - vlt seh ich auch einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht....

30.01.2011, 15:46

Leopold

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Und warum differenzierst du den geschlossenen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ nicht zweimal?

30.01.2011, 15:46

Loukizzz

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Ahhh , also nur zur Überprüfung ( und entschuldigt, dass ich mit Latex noch nicht so warm bin) ist das dann :
2(1-x)^-3 - 3(1-x)^-2 + (1-x)^-1

???

30.01.2011, 15:50

Leopold

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Natürlich. Zweimal zweiundvierzig.

30.01.2011, 15:58

EnteWurzel

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Daran werd ich mich jetzt auch mal versuchen.

30.01.2011, 16:22

EnteWurzel

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[quote]Original von Leopold

und differenziere zweimal:

$\begin{eqnarray*} y' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \, , \ \ y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2) x^n \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht ganz, weshalb so differenziert wird.
Ich weiß, dass (n+1) x^n die Ableitung von x^(n+1) ist, aber ich verstehe obiges nicht.

Schonmal vielen Dank für die Hilfe im Voraus.

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