Polynomring über K ist ein Euklidischer Ring

25.01.2011, 18:41

deadline

Polynomring über K ist ein Euklidischer Ring

Hallo ihr lieben,

ich soll folgendes zeigen:

Ein Polynomring über einem Körper ist ein Euklidischer Ring.
Tip: als Wertfunktion w kann der Grad des Polynoms dienen.

hier mein versuch es zu zeigen, ist das ok so? Bitte Verbesserungsvorschläge auch gerne erkürzungsvorschläge geben.

z.z.:
K Körper => K[X] euklidisch

(1) (K[X],+) ist abelsche Gruppe:
O: f(x)=0 das Nullpolynom

Assoziativität: (f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)) gilt, da es in K gilt
additiv invers zu
$\begin{eqnarray*} f(x)=a_0 *x^0 +a_1 *x +a_2 *x^2 +....+a_n *x^n \end{eqnarray*}$
ist

g(x)=-f(x)
Kommutativität folgt, da sie auch in K gilt

(2) (a*b)*c=a*(b*c), weil dies auch in K gilt
(3) selbiges für die Distributivgesetze

=>(K[X],+,*) ist Ring!

(4) die "1" ist: f(x)=1

=> K[X] ist Ring mit 1

(5) Kommutativität folgt, da sie auch in K gilt

=> K[x]ist kommutativer Ring mit 1

(6) bleibt zu zeigen:

K[X] ist Nullteilerfrei

und

$\begin{eqnarray*} f,g \in R (mit\ g\neq 0) \Rightarrow \exists\ q,r \in R\ mit\ f=q*g+r\ und\ r=0\ oder \ deg(r)<deg(g) \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} g=\sum\limits_{k=0}^d a_k *x^k \end{eqnarray*}$

deg(q*g)=deg(q)+deg(g), denn sei $\begin{eqnarray*} a_d \end{eqnarray*}$ der höchste Koeffizient von g und q von Grad $\begin{eqnarray*} n\geq q \end{eqnarray*}$ mit höchstem Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} a_d *c_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ (wir sind ja in einem nullteilerfreien Körper)

=>deg(q*g)=n+d

(Nullteilerfre)i:
sei f*g=0 mit $\begin{eqnarray*} f\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also deg(f)>=0
deg(f*g)>=deg(f)+deg(g)
$\begin{eqnarray*} deg(f*g)=-\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>deg(g)=-\infty \end{eqnarray*}$

Eindeutigkeit der Darstellung in der Division mit Rest:

f=q*g+r=q`*g+r`

0=(q-q`)*g+(r-r`)
und deg(q-q`)+deg(q)=deg(r-r`)
r und r`haben Grad < d (Beweis folgt), r-r` ebenfalls, also
deg(q-q`)+deg(g)<d, womit q=q`und damit auch r=r`folgt.

Existenz der Division mit Rest:

Induktion nach deg(f)

deg(f)<d, setze q=0 und r=f, eine gewünschte Darstellung

ist aber $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{n=0}^j b_h*x^h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_h \neq 0 \end{eqnarray*}$ und h>=d, so ist:

$\begin{eqnarray*} f_1=f-b_n *(a_d)^{-1} *X^{(h-d)} *g \end{eqnarray*}$

ein Polynom vom $\begin{eqnarray*} deg(f_1)<h \end{eqnarray*}$
Dieses besitzt aber nach Induktionsannahme eine Zerlegung
$\begin{eqnarray*} f_1=q_1 *g +r_1 \end{eqnarray*}$
mit Polynomen
$\begin{eqnarray*} q_1, r_1 \in K[x] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} deg(r_1)<d \end{eqnarray*}$

Es folgt also:

$\begin{eqnarray*} f=(q_1+b_h*a_d*x^{(h-d)} )*g+r_1 \end{eqnarray*}$

somit ist ein Polynomring über einem Körper ist ein Euklidischer Ring

Edit: Das gehört in die Algebra. Verschoben. Gruß, Reksilat.

26.01.2011, 12:40

Reksilat

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RE: Polynomring über K ist ein Euklidischer Ring

Zitat:

Original von deadline
ist aber $\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{n=0}^j b_h*x^h \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_h \neq 0 \end{eqnarray*}$ und h>=d, so ist:
$\begin{eqnarray*} f_1=f-b_n *(a_d)^{-1} *X^{(h-d)} *g \end{eqnarray*}$
ein Polynom vom $\begin{eqnarray*} deg(f_1)<h \end{eqnarray*}$

Hier sind die Indizes ziemlich durcheinandergeraten.
Sonst sieht das ganz gut aus.

Kannst Du nicht schon voraussetzen, dass K[X] ein (nullteilerfreier) Ring ist? Immerhin wird ja in der Aufgabenstellung auch schon vom Polynomring gesprochen.

Gruß,
Reksilat.

26.01.2011, 13:36

Deadline

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Ich kann in der tat davon ausgehen denke ich, den der Dozent meinte es genüge ein induktionsbeweis. Soll ich den Genügt der beweis ab: Eindeutigkeit der Darstellung mit Division mit Rest.? Was ist an der Formel nicht ideal (welche Indiz ist durcheinander geraten? Bin unterwegs und sehe alles sehr klein)

Vielen dank für die Hilfe!!! smile

26.01.2011, 13:43

Reksilat

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RE: Polynomring über K ist ein Euklidischer Ring
Der Laufindex Deiner Summe taucht nicht auf und das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

Zitat:

Besser:
$\begin{eqnarray*} f=\sum\limits_{j=0}^h b_j*x^j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_h \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\geq d \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} f_1=f-b_h *(a_d)^{-1} *X^{(h-d)} *g \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.

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