Normalverteilung: Schritt für Schritt Anleitung?

25.01.2011, 19:31

jsk85

Normalverteilung: Schritt für Schritt Anleitung?

Hallo zusammen,

nachdem ich mir bei den letzten Statistik-Themen zumindest Ansatzweise Vorgehen und Sinn selber erklären konnte, klappt das ganze bei der Normalverteilung leider nicht wirklich: Mir fehlt eine Struktur! Wann mache ich was? Die mir vorliegende Literatur bringt mir keine Erkenntnisse, online habe ich es auch schon versucht - selbst Lernvideos konnten mir noch nicht helfen.

Wer von euch kann mir in nicht-mathematischen Worten das Vorgehen beim Berechnen der Normalverteilung beibringen? Es geht mir primär um die Reihenfolge des Vorgehens. Praktisch eine Schritt für Schritt Erklärung (1. Prüfe diese, 2. berechne jenes).Vielleicht mit einer sanften (wenn leicht verständlich) Erklärung.

Hier mal eine Beispielaufgabe, die mir am einfachsten erscheint:

Zitat:

Die Zufallsvariable X sei N(20;2) verteilt. Ermitteln Sie mit der Tabelle der Verteilungsfunktion der N(0;1)-Verteilung.

a.) P(x < 17)
b.) P(x > 22)
c.) P(X = 21)
d.) P(19 < X < 23)

Gerne erst nur a.), damit ich den Rest dann selber versuche zu lösen. Dann aber am besten gleich so, dass P auch berechnet wird und nicht nur aus der Tabelle abgelesen Augenzwinkern

Wir können folgende Tabelle gemeinsam nutzen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Ich freue mich auf eure Unterstützung!
Grüße
Jan

25.01.2011, 22:50

Math1986

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Hi,
im verlinkten Artikel ist auch ein Beispiel angegeben, inwieweit kannst du dieses nachvollziehen?

Das Problem an der Normalverteilung ist dass es dazu keine Verteilungsfunktion gibt, daher muss auf die Tabelle zurückgegriffen werden
Da aber üblicherweise nur die N(0,1) Verteilung tabelliert ist, musst du deine Verteilung in eine N(0,1) Verteilung transformieren.

Schau dir mal die Beispielsrechnung aus deinem Link an und sag mir wo das Problem liegt, der Rechenweg wird dort sehr gut erklärt wie ich finde.

PS: Dir sollte zuallererst klar sein, wie du Werte der N(0,1) Verteilung berechnest bevor du andere Parameter verwendest

25.01.2011, 23:15

jsk85

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Hallo,
schön, dass du dich meldest Augenzwinkern

Ich habe die letzten Stunden weiterhin an dem Thema geknappert und mir jetzt grad noch mal das WIKI-Beispiel angeschaut. Ich versuche jetzt mal Aufgabe a.) lösen. Meine entsprechenden Fragen dazu werde ich rot hervorheben Augenzwinkern

Vorgehen:

Schritt a.) $\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17) \end{eqnarray*}$

Schritt b.) $\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17)=F*(\frac{x-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Frage 1: Sehe ich das richtig, dass ich durch Schritt b.) die Verteilungsfunktion transformiere? Dies ist also ein notwendige Schritt, um mit der 0-1-Normalverteilung weiter arbeiten zu können, oder?

Schritt c.) $\begin{eqnarray*} F*(\frac{x-\mu}{\sigma})=F*(\frac{17-20}{2})=F*(-1,5) \end{eqnarray*}$

Frage 2: Okay, den Wert 1,5 schlage ich jetzt in der Tabelle nach (0,9332) - ist es denn in irgendeiner Weise wichtig, ob der Wert (also die -1,5) negativ oder positiv ist? Ich meine nicht für die Tabelle, sondern für das weitere Vorgehen?

Schritt d.)
Frage 3: Hier wieder komme ich jetzt nicht weiter. Ich weiß nach der Musterlösung, dass ich jetzt den Wert aus der Tabelle von 1 abziehen muss. Aber WIESO? Müsste es nicht eigentlich F(1,5)=0,9332 sein und F(1,5)=1-0,9332 nur dann, wenn die Wahrscheinlichkeit von p(x>17) gesucht ist?

LG
Jan

25.01.2011, 23:34

Math1986

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Zitat:

Original von jsk85
Vorgehen:

Schritt a.) $\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17) \end{eqnarray*}$

Schritt b.) $\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17)=F*(\frac{x-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Frage 1: Sehe ich das richtig, dass ich durch Schritt b.) die Verteilungsfunktion transformiere? Dies ist also ein notwendige Schritt, um mit der 0-1-Normalverteilung weiter arbeiten zu können, oder?

Prinzipiell ja, aber deine Notation ist sehr verwirrend unglücklich

Dein F taucht hier in zwei Bedeutungen auf.
Nach Konvention bezeichnet man die Verteilungsfunktion von N(0,1) als $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$

Die Normalverteilung wird angegeben als $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$
In der gegebenen Aufgabe ist daher $\begin{eqnarray*} \sigma^2=2 \end{eqnarray*}$ , daher musst du mit $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ weiterrechnen.
Sonst ist die Rechnung aber richtig.

Frage 2 und 3 werden ebenfalls schon in Wikipedia beantwortet:

Zitat:

Negative Werte werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben, weil $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 00:15

jsk85

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Hey,
mmh, das mit dem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ habe ich schon irgendwo mal gelesen, in den Mitschriften, die ich vorliegen habe war das aber nie enthalten. Was genau ist denn falsch? Ist es so richtig?:

$\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17)=\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=\phi(\frac{17-20}{2})=\phi(-1,5) \end{eqnarray*}$

Das mit der Normalverteilung ist jetzt etwas problematisch. Zum einen nehme ich der Literatur, dass - wie du bereits sagtest - $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ ist. In dem mir vorliegendem Skript steht aber:

Zitat:

Ist die Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X:N\left(\mu,\sigma\right) \end{eqnarray*}$ verteilt, so ist Z=\frac{x-\mu}{\sigma}
N(0,1)-verteilt (standardnormalverteilt): $\begin{eqnarray*} Z:N(0,1) \end{eqnarray*}$

In den Musterlösungen wird dann auch wirklich nur $\begin{eqnarray*} \sigma=2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Verstehe ich da was falsch oder denkst du, dass hier ein Fehler von Seiten des Dozenten vorliegt (was in meinen Augen jetzt durchaus schlüssig ist Augenzwinkern

).

Okay, zu Frage 2 und 3 - da sagt mir der Wikipedia-Artikel ja im Prinzip, dass wenn ich einen negativen z-Wert habe IMMER "1 - " genommen wird, ja?

LG
Jan

26.01.2011, 09:56

Math1986

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Zitat:

Original von jsk85
Hey,
mmh, das mit dem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ habe ich schon irgendwo mal gelesen, in den Mitschriften, die ich vorliegen habe war das aber nie enthalten. Was genau ist denn falsch? Ist es so richtig?:

$\begin{eqnarray*} P(x<17)=F(17)=\phi(\frac{x-\mu}{\sigma})=\phi(\frac{17-20}{2})=\phi(-1,5) \end{eqnarray*}$

Ja, so ist es richtig, wobei das Phi hier üblicherweise gross geschrieben wird.

F(als Verteilungsfunktion von N(20,2) ) und $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ sind 2 verschiedene Funktionen, die du beide mit F bezeichnet hast unglücklich

Zitat:

Original von jsk85

Das mit der Normalverteilung ist jetzt etwas problematisch. Zum einen nehme ich der Literatur, dass - wie du bereits sagtest - $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ ist. In dem mir vorliegendem Skript steht aber:

Zitat:

Er kann das prinzipiell definieren wie er möchte, und du solltest du auch daran orientieren, nur als Standard in der Literatur ist eben $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma\right) \end{eqnarray*}$ angegeben, da musst du halt umdenken Augenzwinkern

Zitat:

Original von jsk85
Okay, zu Frage 2 und 3 - da sagt mir der Wikipedia-Artikel ja im Prinzip, dass wenn ich einen negativen z-Wert habe IMMER "1 - " genommen wird, ja?

Genau das

26.01.2011, 19:40

jsk85

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Na dann hast du mir mal wieder sehr weitergeholfen!!!
Vielen Dank dafür!!!

Grüße
Jan

26.01.2011, 20:32

jsk85

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Hey,

habe zu dem selben Thema doch noch mal eine Rückfrage.
Und zwar lautet eine weitere Aufgabe wie folgt:

Zitat:

Mit einer Maschine werden Werkstücke einer bestimmten Länge hergestellt. Die Zufallsgröße "Länge" ist annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert 25mm und der Standardabweichung 0,05 mm. Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Werkstücke eine Länge von mindestens 24,93 mm haben müssen?

Mein Vorgehen:
$\begin{eqnarray*} N(25;0,05) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(x \geq 24,93)=1-F(24,93)=1-\Phi(\frac{24,93-25}{0,05})=1-\Phi(\frac{-0,07}{0,05})<br /> \end{eqnarray*}$

Dann:
$\begin{eqnarray*} 1-\Phi(\frac{-0,07}{0,05})=1-\Phi(-1,4)=1-(1-0,9192) \end{eqnarray*}$

Und hier jetzt meine Frage: In der Musterlösung wird hier 1-1+0,9192 gerechnet. Wie kommt es dazu????

Danke und Grüße
Jan

26.01.2011, 22:12

jsk85

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Fehler selber gefunden. Ich habe unten stehend die falsche Wahrscheinlichkeit gesucht. Gesucht ist korrekter Weise P(x<24,93) !

Grüße
Jan

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