Berechnung v. Wendestellen

25.01.2011, 20:33

HH123

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Berechnung v. Wendestellen

Meine Frage:
Hallo zusammen, habe große schwierigkeiten bei der berechnung der wendestellen bzw. beim auflösen der zweiten ableitung nach x.

die funktion ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-x^{2}-2x+1 }{(x^{2}+1 )²} <br /> f''(x)=\frac{2(x^{3}-3x+3x^{2}-1)}{(x^{2}+1)³ }=0 \end{eqnarray*}$

soweit bin ich gekommen. beim auflösen der zweiten ableitung habe ich allerdings probleme. Was mir noch sinnvoll scheint ist die gleichung in ln umzuschreiben:

Also:
$\begin{eqnarray*} ln(2x^{3}-6x+6x^{2}-2)-ln(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1 )= 0 \end{eqnarray*}$

..habe ab dieser stelle nun stundenlang versucht auszuklammern und aufzulösen, jedoch ohne erfolg.

Nun habe ich mich dazu entschieden hier paar denkstöße zu holen.

..würde mich über antworten, tipps und tricks freuen.

25.01.2011, 20:36

Equester

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Das ist soweit ich sehe alles richtig, was die Ableitung betrifft.
Was aber willst du mit dem ln Oo

Dir ist bekannt -> f''(x)=0 ist eine Bedingung für die Wendestelle?
Einfach den Zähler Nullsetzen^^

25.01.2011, 21:32

HH123

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ok, dann versuche ich dies mal:

$\begin{eqnarray*} 2x^{3}-6x+6x^{2} -2 =0<br /> <br /> -2+x (2x^{2}-6+6x)<br /> -2+x =0 \vee 2x^{2}-6 +6x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^{2}-6 +6x=0 <br /> x(2x+6) = 6<br /> x^{2} =3<br /> x=\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Ist der rechenweg soweit richtig..? Denn das ergebnis sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} (-2-\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (-2+\sqrt{3}) \end{eqnarray*}$ oder x= 1 lauten

25.01.2011, 21:36

Equester

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Hmm, das eigentliche Vorgehen bei einem Polynom dritten Grades ist, dass man
eine Polynomdivision macht.
Errate eine Nullstelle und dann Polynomdivision.

Dein Weg ist nichtsdestotrotz richtig wie auch das Ergebnis. Der Weg ist Geschmackssache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie ist also dein weiteres Vorgehen?

25.01.2011, 22:59

HH123

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$\begin{eqnarray*} 2x^{3}+6x^{2}-6x-2: (x-1)=2x^{2}+8x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x^{2}+8x+2=0<br /> x^{2}+4x+1<br /> x1,2,= -2\pm \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} x=(-2-\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} x= (-2\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$

Ok, vielen, vielen dank, so stimmt das ergebnis.

... gibt es noch einen anderen lösungsweg..? (das mit polynomdivision mag ich ganz ehrlich nicht)

25.01.2011, 23:04

Equester

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verwirrt

Du hast nun nochmals die Nullstellen der zweiten Ableitung ausgerechnet.
Mit Polynomdivision Freude

Freude

Jeder muss seinen Weg selbst finden. Deine Variante kann aber das ein oder andere mal
etwas komplizierter werden. Aber auch das ist Ansichtssache.
Wies dir beliebt. Solange es richtig ist smile

smile

Wir haben nun f''(0)=0.
Was gilt weiter für das Wendestellenproblem?

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30.01.2011, 17:28

HH123

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weiterhin gilt für das wendestellenproblem, dass: $\begin{eqnarray*} f'''(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$

Allerding bei einer riesigen funktion wie:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)= \frac{(6x^{2}-6+12x-2)(x^{2}+1)-6x(2x^{3}-6x+6x^{2}-2 )}{(x^{2}+1) ^4} \end{eqnarray*}$

habe ich etwas schwierigkeiten nach x aufzulösen...:S

reicht es nicht denn aus, wenn ich einfach überprüfe, ob die zweite ableitung bei x0 das vorzeichen wechselt, indem ich einen wert kleiner und einen größer als die nullstellte der zweiten ableitung wähle..?

30.01.2011, 17:35

Equester

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Wenn ich mich nicht irre ist da ein kleiner Fehler drinne.

Es ist hier nur nötig den Zähler 0 zu setzen, das geht ja schnell Big Laugh

Big Laugh

Ansonsten, das mit dem VZW ist natürlich auch eine Möglichkeit!

30.01.2011, 19:30

HH123

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Ja, da ist mir ein fehler unterlaufen smile

smile

Nun gut, bin zwar nicht so gut in sachen umformilieren, aber ich versuche es mal:

$\begin{eqnarray*} -6x^{4}-24x^{3}+36x^{2} +24x-6 =0<br /> -6+x(6x^{3}-24x^{2}+36x) =-24x<br /> -6+x=\frac{-24x}{x(6x^{2}-24x+36)}<br /> 18+x(6x^{2}-24x+36)=0<br /> x1=18+x\neq 0<br /> x2=x^{2}-4x+6\neq 0 \end{eqnarray*}$

habe ich es denn einigermaßen hinbekommen..? smile

smile

30.01.2011, 19:43

Equester

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Dir ist schon bewusst, dass du das so nicht umformen musst Big Laugh

Big Laugh

Du musst einfach die Nullstellen von f''(x) in f'''(x) einsetzen.
Diese dürfen dabei aber nicht 0 werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nur dann passts.

Und den Weg vergessen wir ganz schnell wieder! Die Umformungen sind...
falsch :P
Man löst eine solche Aufgabe mit der Polynomdivision (davor errät man eine NS).
Das ist hier allerdings ohnehin nicht möglich.

Gib mir lieber nochmals deine dritte Ableitung, die war vorhin falsch. Dann setze die
Werte von f'' an.

Wenn du danach noch Lust hast üben wir Umformungen smile

smile

30.01.2011, 20:31

HH123

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klar würde ich gerne mit dir umformulierungen üben smile

smile

Ok, hier erstmal meine dritte ableitung von vorhin.

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{6x^{2}-6+12x(x^{2}+1)^3-(3(x^{2} +1)^2)2x)(2x^{3}-6x+6x^{2}-2)}{(x^{2}+1)^6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{6x^{2}-6+12x(x^{2}+1)-(6x(2x^{3}-6x+6x^{2}-2)) }{(x^{2}+1)^{4} } \end{eqnarray*}$

Ist sie nun erstmal so korrekt..?

30.01.2011, 20:37

Equester

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Freut mich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann machen wir das noch^^

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{2x^3+6x^2-6x-2}{(x^2+1)^3} \end{eqnarray*}$

So nochmals die Ableitung bitte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Mir reicht der erste Schritt, also keine Zusammenfassung.
Bei dir stimmt da was nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2011, 21:06

HH123

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hmm, jetzt habe ich lange gerechnet, bekomme immer wieder folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{(6x^{2}-6+12x)(x^{2}+1)^3-(6x(x^{2}+1)) (2x^{3}-6x+6x^{2}-2) }{(x^{2}+1)^{6} } \end{eqnarray*}$

..kann den fehler nicht finden..

30.01.2011, 21:09

HH123

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ohh, habe was vergessen, entschuldige..

nochmal:

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=\frac{(6x^{2}-6+12x)(x^{2}+1)^3-(6x(x^{2}+1)^2) (2x^{3}-6x+6x^{2}-2) }{(x^{2}+1)^{6} } \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 21:10

Equester

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Edit: Du hasts ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Super, so stimmts doch!

30.01.2011, 21:11

Equester

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Es gibt nun zwei Möglichkeiten: Entweder vereinfachen und dann einsetzen.

Oder direkt einsetzen ^^

30.01.2011, 21:35

HH123

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Ok, meine NS waren:

$\begin{eqnarray*} x=-2-\sqrt{3} <br /> x=-2+\sqrt{3} <br /> x=1 \end{eqnarray*}$
Reicht es nun aus, wenn ich die überprüfung nur für eine ausgewählte nullstelle durchführe? Oder muss ich alle nullstellen, die ich ermittelt hatte, in die 3. ableitung einsetzen ?

Bei
f'''(1)= 1,5
kommt schon mal keine null raus.

30.01.2011, 21:37

Equester

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Haha^^
Du musst natürlich alle überprüfen! Es ist doch für uns interessant, welche der
Nullstellen der zweiten Ableitung 0 ergibt, und welche nicht 0 ist! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bei x=1 haben wir f'''(x) ungleich 0 -> der erste Wendepunkt ist gefunden! Wie siehts
mit den anderen beiden aus?

30.01.2011, 22:02

Equester

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Sry, ich bin jetzt im Bett. Morgen Prüfung Oo
Der Schluss ist ja aber jetzt nicht weiter schwer. Die anderen beiden Punkte noch
überprüfen und fast fertig.
Die x-Werte, die Wendestellen sind, einfach in die Ausgangsgleichung und schon hast
du deine Wendepunkte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Morgen dann Umformungsübungen?^^

30.01.2011, 22:17

HH123

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sorry, hat jetzt nun etwas gedauert, war nun viel zum tippen und wenn ich mich nicht irgendwo vertippt habe, dann kommt:

$\begin{eqnarray*} f'''(-2-\sqrt{3})= -0,05229<br /> f'''(-2+\sqrt{3}) = 5,3293 \end{eqnarray*}$

Ok, morgen dann umformungsübungen smile

smile

einverstanden smile

smile

Nur, wann bist du denn online..?

Wünsche dir noch eine gute nacht und viel, viel erfolg in der prüfung smile

smile

Bis morgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2011, 10:45

Equester

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Ich hoff ich irr mich jetzt nicht, aber das hab ich auch so (also ungleich 0 :P)
Dann kannste ja jetzt die Wendestellen ausrechnen.
x-Werte einfach in die Funktion einsetzen.
smile

smile

Ich bin heut den ganzen Mittag vollens da. Bis abends Big Laugh

Big Laugh

Und Danke, ich denk die Prüfung lief recht gut^^

Wink

Wink

31.01.2011, 14:39

HH123

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Meine Wendestellen:

$\begin{eqnarray*} w1(-2-\sqrt{3}|-0,183013),w2(-2+\sqrt{3}|0,683013), W3(1|1) \end{eqnarray*}$

eine frage habe ich noch und zwar habe ich bei dieser aufgabe nun meine nullstellen mithilfe der polynomdivision ermittelt, wofür ich zunächst mal eine NS erraten musste.

wie könnte ich denn die NS anders berechen.
..Ich finde es sehr aufwendig eine wertetabelle aufzustellen, um eine NS zu erraten, vor allem weil man in den klausuren gar nicht so viel zeit hat.
(Nun gut, bei dieser aufgabe habe ich schon bei x=1 eine NS gahabt, aber könnte auch anders sein:S)

Gibt es denn einen schnelleren weg..??

PS:es feut mich, dass die prüfung gut lief smile

smile

31.01.2011, 14:46

Equester

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Sehr gut, hab ich auch Freude

Freude

Wenn du ein Polynom 3ten Grades oder höher hast, bleibt dir nicht viel anderes
übrig als raten. Die Nullstellen liegen aber eigentlich immer zwischen -3 und +3 Augenzwinkern

Augenzwinkern

Alles klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Umformungen?

(Danke)

Wink

Wink

31.01.2011, 15:06

HH123

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Ok, dankeschön erstmal für die große hilfe smile

smile

jaaa, umformen smile

smile

fangen wir mit der funktion an, die ich total falsch umgeformt hatte:

$\begin{eqnarray*} -6x^{4}-24x^{3}+36x^{2}+24-6=0 \end{eqnarray*}$

was habe ich nun genau falsch gemacht und wie sollte man am besten anfangen.?

31.01.2011, 15:08

Equester

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Gerne doch. Wenn der Fragesteller richtig mitarbeit machts auch richtig Spaß Freude

Freude

Nun, in dem Fall ist es keine Umformung^^ Hier heißt das Stichwort einfach: Polynomdivision

31.01.2011, 15:08

HH123

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habe da oben wieder mal was vergessen smile

smile

so:

$\begin{eqnarray*} -6x^{4}-24x^{3}+36x^{2}+24x-6=0 \end{eqnarray*}$

31.01.2011, 15:11

HH123

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oh dankeschön, wenn der antworter auch immer höflich und geduldig bleibt, dann macht es mir auch spaß smile

smile

Ok, dann stell du mir eine beliebige aufgabe und ich versuche sie umzuformen Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2011, 15:17

Equester

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Hab ich die Kriterien erfüllt? Big Laugh

Big Laugh

Haha, du lässt mich eine wählen? Dann mach dich auf was gefasst^^
Du hast zwei Funktionen:
g(x) und f(x). Finde die Schnittpunkte! $\begin{eqnarray*} (x\neq1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^3-3 x^2-4 x+12}{x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=(x+2)^2 \end{eqnarray*}$

Viel Spaß smile

smile

31.01.2011, 15:55

HH123

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also, habe ertsmal x=5,5 raus

ist das ergebnis soweit korrekt??

31.01.2011, 15:57

Equester

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Nöö^^

Selber Schuld -> Rechenweg muss her^^

31.01.2011, 15:57

HH123

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Zitat:

Original von HH123
also, habe ertsmal x=5,5 raus

ist das ergebnis soweit korrekt??

tippfehler:

x=2,5 ist mein ergebnis

31.01.2011, 16:00

Equester

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Macht nix. Ist weiterhin falsch Teufel

Teufel

Es gibt ohnehin zwei Lösungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was war denn dein Vorgehen?
Wie sieht dein Rechenweg aus?

31.01.2011, 16:04

HH123

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hhehe.. kein problem.. lass mich gerne überfodern smile

smile

$\begin{eqnarray*} x^{3}-3x^{2}-4x+12=(x-1)(x+2)²<br /> -6x^{2}-4x+16=0<br /> x(-6x-4)=-16<br /> x=\frac{-16}{(-6x-4)} <br /> 16x=-6x-4<br /> 10x=-4<br /> x=-2,5 \end{eqnarray*}$

31.01.2011, 16:06

HH123

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Zitat:

Original von HH123
hhehe.. kein problem.. lass mich gerne überfodern smile

smile

$\begin{eqnarray*} x^{3}-3x^{2}-4x+12=(x-1)(x+2)²<br /> -6x^{2}-4x+16=0<br /> x(-6x-4)=-16<br /> x=\frac{-16}{(-6x-4)} <br /> 16x=-6x-4<br /> 10x=-4<br /> x=-2,5 \end{eqnarray*}$

ooooooooh...nicht x=-2,5, sondern

x=-0,4

nach meinem ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2011, 16:11

Equester

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Zitat:

Original von HH123

hhehe.. kein problem.. lass mich gerne überfodern smile

smile

$\begin{eqnarray*} x^{3}-3x^{2}-4x+12=(x-1)(x+2)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -6x^{2}-4x+16=0 \end{eqnarray*}$ Die Umformung hierher ist korrekt
$\begin{eqnarray*} x(-6x-4)=-16 \end{eqnarray*}$ Sehr interessante Weise der Errechnung^^ Statt man einfach die pq-Formel nimmt verwirrt

verwirrt

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-16}{(-6x-4)} \end{eqnarray*}$ Auch noch richtig. Aber nicht sinnvoll (siehe oben)
$\begin{eqnarray*} 16x=-6x-4 \end{eqnarray*}$ Wie bitte schön, hast du die 16 auf die andere Seite gebracht?^^ Vorsicht! Du hast hier ein Produkt!!!
$\begin{eqnarray*} 10x=-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-0,4 \end{eqnarray*}$ Wenn überhaupt, dann -0,4 Big Laugh

Big Laugh

Ok, da haben wir schon ein paar Fehler Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe sie direkt im Text angemerkt smile

smile

Merke dir eins. Hast du die Form vorliegen:
ax²+bx+c=0 Dann musst du die pq-Formel anwenden (oder abc-Formel; bei der
pq-Formel muss das a noch weggebracht werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

31.01.2011, 16:33

HH123

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hehe... bist ja gemein Big Laugh

Big Laugh

ok, dass ich da die pq-formel anwenden kann, habe ich zwar gesehen, aber habe es mir etwas komplizierter gemacht, weil ich das umformen üben wollte.
... und wenn ich mich richtig erinnere, muss man bei der pq-formel das vorzeichen wechseln, dh:
$\begin{eqnarray*} -6x^{2}-4x+16=0<br /> mit<br /> p= \frac{4}{6} <br /> und<br /> q=\frac{-16}{6} \end{eqnarray*}$

also habe ich dann eine minus unter der wurzel, hmmmmm...

so weiterhin, habe ich die 16 falsch auf die andere seite gebracht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{-16}{-6x-4} <br /> \frac{x}{-16} =-6x-4<br /> -16^{-1}x=-6x-4 |+6x<br /> 5,9375x=-4<br /> x=0,6737 \end{eqnarray*}$

kann ich denn so umformen..?:S

31.01.2011, 16:40

Equester

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Ich bin doch ein Engel

Engel

, wie kann ich da gemein sein? Big Laugh

Big Laugh

die pq-Formel sieht bisher gut aus. Warum du da was negatives siehst verwirrt

verwirrt

Du hast die -16 richtig rübergebracht, aber rechts hast du den Nenner auf einmal
zum Zähler gemacht Big Laugh

Big Laugh

Du meinst, nur weil oben frei ist kann alles nach oben rutschen? Big Laugh

Big Laugh

So nicht

Lehrer

Da bleibt eine 1/(Nenner)!

31.01.2011, 16:41

HH123

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aaah, wie blöd von mir, habe ja vor dem quadrat auch eine minus stehen

ok, ok, ich nehme es wieder zurück...

ich habe keine minus unter der wurzel

dann wäre meine lösung

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{-4}{6}\pm \sqrt{\frac{148}{9} } \end{eqnarray*}$

31.01.2011, 16:44

Equester

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Wärst du so frei, mir die pq-Formel mal hinzuschreiben?
Dann machen wir mal einen direkten Vergleich! Big Laugh

Big Laugh

31.01.2011, 16:56

HH123

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$\begin{eqnarray*} x1,2 =-p\pm \sqrt{(p^{2})-q } \end{eqnarray*}$

etwa falsch..? unglücklich

unglücklich

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