Bijektivität |
| 25.01.2011, 21:11 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Bijektivität f: (0,\infty ) ->\mathbb R , x -> x+ ln(x) Beweisen sie das f bijektiv ist Meine Ideen: Wenn ich bijektivität beweisen will, muss ich ja schauen ob die funktion surjektiv und injektiv sind surjektiv: x+ln(x)=y+ln(y) -> x=y |
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| 25.01.2011, 21:14 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das was du hingeschrieben hast wäre der Ansatz für die Injektivität. Am einfachsten dürfte sich hier über Stetigkeit, Monotonie und Zwischenwertsatz argumentieren lassen, steht dir das zur Verfügung? |
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| 25.01.2011, 21:18 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry, meinte schon injektiv 
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| 25.01.2011, 21:19 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur Verfügung schon, aber ich weiß nicht wie ich es so beweisen soll |
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| 25.01.2011, 21:20 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst du nachweisen, dass die Funktion stetig und monoton steigend ist? Schlage den Zwischenwertsatz nach, was besagt dieser, wie könntest du dir das hier zu Nutze machen? |
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| 25.01.2011, 21:31 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine reele Funktion f die bei einem abgeschlossenen Invervall stetig ist und jeden Wert von dem Intervall annimmt... injektiv ist die funktion, wenn sie streng monoton ist |
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| 25.01.2011, 21:34 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie sieht es mit dem Nachweis dieser Eigenschaften aus? Ist deine Funktion stetig? Ist sie streng monoton? |
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| 25.01.2011, 21:35 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f ist genau dann monoton wachsend, wenn aus x1<x2 folgt, dass f(x1)<=f(x2) ist |
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| 25.01.2011, 21:40 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x)=x+ln(x) f'(x) 1+1/x Da x+ln(x) > 0 für alle x aus IR, ist f'(x)>0 für alle x aus IR. Damit ist die Funktion f streng monoton steigend auf IR und somit injektiv Wäre jetzt meine Idee.. |
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| 25.01.2011, 21:43 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Folgerung kann ich nicht nachvollziehen, warum argumentierst du mit x+ln(x)? Deine Folgerung ist überdies falsch. |
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| 25.01.2011, 21:46 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x+ln(x) ist doch die aufgabenstellung... tut mir leid ich kapier es halt einfach nicht |
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| 25.01.2011, 21:49 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum sollte aus x+ln(x)>0 folgen, dass 1+1/x>0 ist?, Zuerst: Ist deine Funktion stetig? Ist sie differenzierbar? Danach kannst du über die Ableitung die strenge Monotonie und damit die Injektivität folgern. |
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| 25.01.2011, 22:03 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok das die folgerung falsch war hab ich jetzt auch gemerkt... muss ich bei dieser aufgabe erst das delta-epsilon kriterium anwenden? aber wieso benötige ich die Stetigkeit wenn es heißt: Wenn eine reelle Funktion f streng monoton ist, dann ist sie auch injektiv. Funktion ist doch monoton wachsend bzw. fallend wenn: f ist genau dann monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 folgt, dass f(x1) <= f(x2) ist f ist genau dann monoton fallend, wenn aus x1 < x2 folgt dass f(x1) <= f(x2) ist. |
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| 25.01.2011, 22:06 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du brauchst die Stetigkeit für den Zwischenwertsatz und notgedrungen wenn du die Monotonie über die Ableitung zeigen willst. Du kannst das auch über die Definition der Monotonie zeigen wenn du willst. |
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| 25.01.2011, 22:07 | susi** | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kannst du mir nicht einfach mal zeigen wie es geht... |
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| 25.01.2011, 22:12 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich werde dir nicht zeigen wie es geht und eine Komplettlösung für dich schreiben, lies dazu mal Prinzip "Mathe online verstehen!". Ich habe dir jetzt mehrere Ansätze vorgeben, über die du argumentieren kannst, du hast bisher noch nichts an Eigenleistung vollbracht. Überdenk die Rückfragen die ich an dich stelle, ich stelle die nicht zum Spaß sondern aus einem guten Grund. |
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