Grenzwertberechung mit l'Hopital-Regel

26.01.2011, 09:34

MrBrightside

Grenzwertberechung mit l'Hopital-Regel

Meine Frage:
Hallo,
ich möchte gerne 2 Grenzwerte berechnen. a und b sind übrigens als positive reelle Zahlen definiert.

1)
lim(x->1) [(x^a-1)*e^(a*x)] / [(x^b-1)*e^(b*x)]

2)
lim(x->0) [a^x - b^x] / [e^x-e^(-x)]

Meine Ideen:
Jeweils brauche ich die Regel von l'Hopital zur Lösung, da bei 1) 0/0 stehen würde und bei 2) ebenfalls 0/0.

Das Problem das ich nun habe liegt vielleicht einfach nur beim Ableiten.

1)
lim(x->1) [a*x^(a-1) * e^(a*x) + (x^a-1) * a*e^(a*x)] / [b*x^(b-1) * e^(b*x) + (x^b-1) * b*e^(b*x)]

Wenn das so stimmt weiß ich nicht mehr weiter. Wenn das nicht stimmt, dann weiß ich, warum ich nicht mehr weiter weiß.
Wenn das so stimmt könnte ich ja direkt die Grenzwertsätze anwenden, oder?

2)
lim(x->0) [ln(a)*a^x - ln(b)*b^x] / [e^x - (-e^(-x)]

Wenn ich hier nun die Grenzwertsätze anwende habe ich im Nenner:
(1-1)=0
meine Erfahrung sagt, dass 0 im Nenner immer schlecht ist smile

26.01.2011, 09:57

Manni Feinbein

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Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}}=\frac{e^{ax}}{e^{ax}}\cdot\frac{x^a-1}{x-1}\cdot\frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 10:12

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel

Zitat:

Original von Manni Feinbein
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}}=\frac{e^{ax}}{e^{ax}}\cdot\frac{x^a-1}{x-1}\cdot\frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}} = \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x-1} \cdot \frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Und wenn man auf l'Hospital scharf ist, dann kann man das auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^a-1}{x^b-1} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Zitat:

Original von MrBrightside
2)
lim(x->0) [ln(a)*a^x - ln(b)*b^x] / [e^x - (-e^(-x)]

Wenn ich hier nun die Grenzwertsätze anwende habe ich im Nenner:
(1-1)=0

Unfug. Im Nenner steht eine 2. Augenzwinkern

26.01.2011, 10:27

MrBrightside

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel

Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}} = \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x-1} \cdot \frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Und wenn man auf l'Hospital scharf ist, dann kann man das auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^a-1}{x^b-1} \end{eqnarray*}$ anwenden.

Kann da nicht ganz folgen, was ist hier gerechnet worden?
Bzw. es ist ja nur umgeformt worden.
Kann man die l'Hospital Regel nur auf einen bestimmten Term anwenden?

Zitat:

Original von klarsoweit
Unfug. Im Nenner steht eine 2. Augenzwinkern

Danke. Logisch. Klar smile

26.01.2011, 10:29

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel

Zitat:

Original von MrBrightside
Kann da nicht ganz folgen, was ist hier gerechnet worden?

Elementare Umformungen nebst Bruchrechnung, wie sie auf der Schule gelernt wurden.

26.01.2011, 10:33

MrBrightside

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
Mist, du warst du schnell für meinen Edit.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}} = \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x-1} \cdot \frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Was habe ich von dieser Umformung? Erstaunt1

26.01.2011, 10:37

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel

Zitat:

Original von MrBrightside
Mist, du warst du schnell für meinen Edit.

$\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}} = \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x-1} \cdot \frac 1{\frac{x^b-1}{x-1}} \end{eqnarray*}$

Was habe ich von dieser Umformung? Erstaunt1

Beim ersten Bruch ist der Grenzwert klar, bei den anderen beiden hast du Differenzenquotienten, und von denen sind die Grenzwerte auch klar. Aber wie gesagt: du kannst es auch bei $\begin{eqnarray*} \frac{(x^a-1)e^{ax}}{(x^b-1)e^{bx}} = \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x^b-1} \end{eqnarray*}$ belassen und wendest auf den 2. Bruch l'Hospital an.

26.01.2011, 10:57

MrBrightside

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
Ich danke vielmals.

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{ax}}{e^{bx}} \cdot \frac{x^a-1}{x^b-1} \end{eqnarray*}$

der erste Bruch hat einen Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a-b} \end{eqnarray*}$

Auf den zweiten Bruch l'Hospital heißt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x*ln(a)}{x*ln(b)} = ln(\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$

also ist der Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} e^{a-b}*ln(\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$

Richtig?

D.h. man kann l'Hospital auch nur auf einen Teil der Funktion anwenden...

26.01.2011, 11:04

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
Ja, natürlich, solange der andere Teil einen Grenzwert hat und man die Grenzwertsätze anwenden kann.

26.01.2011, 11:07

Mystic

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel

Zitat:

Original von MrBrightside
Auf den zweiten Bruch l'Hospital heißt:
$\begin{eqnarray*} \frac{x*ln(a)}{x*ln(b)} = ln(\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$

[...]
Richtig?

Nein.

26.01.2011, 11:14

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
Mist. Wieder was übesehen. Hammer

26.01.2011, 11:17

MrBrightside

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$\begin{eqnarray*} e^{a-b}*\frac{ln(a)}{ln(b)} \end{eqnarray*}$

Ist das dann die Lösung?

Äh quatsch stop..
ich hab grad 2 Aufgaben miteinander vermischt und eine völlig falsche Ausgangssituation

26.01.2011, 11:21

MrBrightside

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$\begin{eqnarray*} e^{a-b}*\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

So. Nochmals kurz auf'm Papier durchgerechnet.
Richtig so?

26.01.2011, 11:27

klarsoweit

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RE: Grenzwetberechung OHNE l'Hospital-Regel
Ja, jetzt stimmt's. Da war ich selber etwas flüchtig. geschockt

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