Wahrscheinlichkeitsrechnung-Urne |
| 26.01.2011, 11:32 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Wahrscheinlichkeitsrechnung-Urne Ich habe folgende Aufgabe: Wir haben eine Urne, in dieser Urne liegen 15 Kugel, 7 weiße Kugeln und 8 schwarze Kugeln. Dazu folgende Aufgaben: 1. Man soll zweimal in die Urne greifen und eine Kugel ziehen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 2 weiße Kugeln zu ziehen, wie groß 2 Schwarze zu ziehen? 2. Man greife 4 mal in die Urne, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 4 schwarze Kugeln zu ziehen? Meine Ideen: Leider komme ich damit überhaupt nicht da... Möglichkeiten: WS SS SW WW gibt es da noch andere Möglichkeiten? Und überhaupt... ich hatte sowas noch nicht 
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen!! Bis dann ruri 
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| 26.01.2011, 11:36 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung-Urne OK, wir suchen uns die Fälle raus, die für das eintreten des Ereignisses von Bedeutung sind. Wenn wir in die Urne zweimal hineingreifen gibt es die von dir angesprochenen 4 Möglichkeiten. Wir dürfen aber die Anazhl weißer und schwarzer Kugeln und die Gesamtzahl derer nicht außer Acht lassen. Das letztere ist mit das wichtigste. |
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| 26.01.2011, 11:45 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok. also du meinst, dass es 7/8 Kugeln sind.. 7 weiße und 8 Schwarze. Insgesamt 15. |
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| 26.01.2011, 11:59 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, das ist hier beim Urnenmodell das entscheidende. Es funktioniert mit dem Ausrechnen der Wahrscheinlichkeit nicht so wie etwa bei der Münze oder dem Würfel. Denn bei der Münze gibt es immer 2 Möglichkeiten, also ist die Wahrscheinlichkeit immer , beim Würfel 6, also W. . Doch bei der Urne ändert sich die Wahrscheinichkeit doch nach jedem ziehen, wieviele weißebzw. schwarze Kugeln sind noch drin und wieviele GESAMT. Kannst du mir folgen? |
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| 26.01.2011, 12:04 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm.. ja, bis jetzt schon. |
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| 26.01.2011, 12:10 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist mMn nicht ganz ersichtlich, die Aufgabe ist in diesem Punkt unsauber formuliert. Es wird nicht gesagt, ob man MIT oder OHNE Zurücklegen zieht, das sollte man sich davor einmal klar machen. Man kann sich dann aber zwei Übungsaufgaben daraus machen, einmal MIT und einmal OHNE Zurücklegen, dann kann man auch direkt die Unterschiede der beiden Modelle sehen. |
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| 26.01.2011, 12:13 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So können wir uns mit diesem Ansatz zur ersten Aufgabe begeben, ich gehe von dem einfacheren Fall, also ohne Zurücklegen aus. Ich hoffe mal wir haben ruri jetzt nicht verwirrt Wir greifen das erstemal in die Urne, 15 Kugel, davon 7 weiß und 8 schwarz. Die Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen beträgt , aufgrund dessen das insgesamt 15 Kugel in der Urne sind, davon aber nur 7 weiß. Damit befinden sich in der Urne zum jetzigen Zeitpunkt 14 Kugel, davon 6 weiße. Da wir die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen wie wahrscheinlich es ist zweimal eine weiße Kugel zu ziehen müssen wir die jetzige Wahrscheinlichkeit noch berechnen. Diese Wahrscheinlichkeit eine weiße Kugel zu ziehen beträgt , afgrund das sich nur noch 6 weiße Kugel und insgesamt 14 in der Urne befinden. Durch die Pfadregel müssen wir um die Gesamtwahrscehinlichkeit, zwei weiße Kugel bei zweimal ziehen zu berechen, die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren. Es kommt zu: Soweit klar? |
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| 26.01.2011, 12:18 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm.. ich glaube schon... |
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| 26.01.2011, 12:23 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das soweit klar ist, kannst du ja, dasgleiche jetzt mit den schwarzen Kugel berechnen. Dann führe das bitte mal aus und zeige mir deine Rechenschritte und Überlegungen. |
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| 26.01.2011, 12:33 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ähm.. ok, ich versuchs mal: es sind 8 Schwarze Kugeln von 15. also: Die WArscheinlichkeit eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 8/15. Nun haben wir 14 Kugeln in der Urne, davon 7 Schwarze. Die Warscheinlichkeit wieder eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 7/14. Durch die Pfadregel müssen wir diese beiden Warscheinlichkeiten multiplizieren: 8/15*7/14=(8*7)/(15*14) = 56/210 ja? |
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| 26.01.2011, 12:35 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das ist genau richtig für dieses Urnenmodell. Wir nuttzen nämlich das urnenmodell ohne zurücklegen. Es gibt auch eins bei dem man die Kugel wieder zurücklegt, das baer nur am Rande und zur Information. Jetzt können wir uns der 2. Aufgabe widmen, führe diese bitte mit Lösungsweg durch. |
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| 26.01.2011, 12:41 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so.. gut:
2.: 1. mal:es sind 8 Schwarze Kugeln von 15. Die Warscheinlichkeit eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 8/15. 2. Mal: es sind 7 Schwarze Kugeln von 14. Die Warscheinlichkeit wieder eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 7/14. 3. Mal: es sind 6 Schwarze Kugeln von 13. Die Warscheinlichkeit wieder eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 6/13. 4. Mal: es sind 5 Schwarze Kugeln von 12. Die Warscheinlichkeit wieder eine Schwarze Kugel zu ziehen beträgt 5/12. Durch die Pfadregel müssen wir diese 4 Warscheinlichkeiten multiplizieren: 8/15*7/14*6/13*5/12=(8*7*6*5)/(15*14*13*12)=1680/3276 ja? |
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| 26.01.2011, 12:44 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau so funktioniert das, klasse. Prima, gut gemacht. 
Du kannst deine Brüche natürlich entsprechend kürzen, nur so als Hinweis: Möchtest du noch zu einem bestimmten Thema ein paar Aufgaben lösen? |
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| 26.01.2011, 12:47 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Juhu!! Nun, von mir aus noch ein paar in Warscheinlichkeit und, ach es wäre nicht schlecht die Potenzen noch etwas mehr zu üben, die Bruchrechnung könnte besser sein 
, Prozentrechnung ... ja, das kann ich alles aber üben ist trotzdem nicht schlecht!Aber leider geht das heute nichtmehr... ich muss jetzt dringend weg, weil wir in 10 min. fahren und dann bis voraussichtlich heute Abend weg sind.. also wenn dann morgen. |
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| 26.01.2011, 12:48 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK. Bis Morgen
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| 26.01.2011, 12:58 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde vielleicht den Unterschied mit/ohne Zurücklegen nochmal hervorheben wollen... |
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| 26.01.2011, 13:00 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Iorek ruri muß gleich weg, Sie wird erst gegen Morgen wieder da sein. Aber du kannst ihr den Unterschied ruhig erklären. Nur wird das schon in einer 8. Klasse behandelt beim Thema Wahrscheinlichkeit, ich weiß es nicht. |
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| 26.01.2011, 13:04 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hängt ganz vom Bundesland und Lehrplan ab, wir hatten beide Modelle. Ich wollte das auch nur als Vorschlag für die Zukunft geben, dass ruri14 heute nicht mehr da ist habe ich gelesen. |
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| 27.01.2011, 10:15 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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NA ja... es ist Amerikanische Lehrplan
Aber erklären könnte es mir trotzdem einer von euch beiden, zumindest mal so ansatzweise
Danke!! |
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| 27.01.2011, 10:18 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann werde ich es dir mal erklären. Bisher hatten wir das Urnenmodell ohne Zurücklegen, das heißt nach jedem ziehen befindet sich eine Kugel weniger in der Urne und somit ändert sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem ziehen. Das Ziehen mit zurücklegen heißt die gezogene Kugel wird wieder zurückgelegt, das heißt, die Zahl der befindlichen Kugeln bleibt in der Urne gleich, somit auch die Wahrscheinlichkeit. |
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| 27.01.2011, 10:19 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so.. kann ich diese Aufgabe nochmal machen mit zurücklegen? DAmit ich weiß ob ich das verstanen habe? Eigentlich klingt es einfach aber trotzdem.. |
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| 27.01.2011, 10:25 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja wir machen ein neues Beispiel, einmal mit zurücklegen und einmal ohne so kannst du den Unterschied sofort in einem Beitrag erkennen. In einer Urne befinden sich 9 Kugeln, davon 5 weiße und 4 schwarze. Ohne Zurücklegen 1. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 2 schwarze zu ziehen? 2. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 2 weiße zu ziehen? 3. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 1 weiße u. 1 schwarze zu ziehen? Mit Zurücklegen 1. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 2 schwarze zu ziehen? 2. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 2 weiße zu ziehen? 3. Man ziehe zweimal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 1 weiße u. 1 schwarze zu ziehen? Bitte mit Lösungsweg, damits nachvollziehbar wird und bei Problemen sagst du Bescheid. |
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| 27.01.2011, 10:32 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok.. also:
Ohne: 1. Beim ersten mal habe ich eine Warscheinlichkeit von 4/9. da, 4 von 9 Kugeln schwarz sind. Beim zweiten mal habe ich eine Warscheinlichkeit von 3/8. Da, 3 von 8 Kugeln schwarz sind. Warscheinlichkeit: 4/9*3/8=12/72 2. ERstes mal: W: 5/9 da 5 von 9 Kugeln weiß sind. Zweites mal: W: 4/8 da 4 von 8 Kugeln weiß sind. Warscheinlichkeit: 5/9*4/8=20/72 3. Erstes mal: W. für eine Weiße: 5/9 da 5 von 9 Kugeln weiß sind. Zweites mal: W. für eine Schwarze: 4/8 da 4 von 8 Kugeln schwarz sind. Warscheinlichkeit: 5/9*4/8=20/72 so, mit zurücklegen mache ich gleich... erstmal: stimmt das bis hierher? |
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| 27.01.2011, 10:42 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1. und 2. stimmen soweit, die dritte Aufgabe bedarf einer Erweiterung. Es gibt doch folgende grundlegenden 4 Möglichkeiten beim zweimaligen ziehen. WW WS SW SS Zwei weiße zu ziehen, zwei schwarze zu ziehen oder eine weiße und eine schwarze, das heißt irgendeiner dieser Fälle wird sicherlich eintreten, also muß die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten EINS ergeben. Das ist bei dir nicht der Fall, denn es gibt ja 2 Möglichkeiten DAS man eine schwarze und eine weiße zieht(blau markiert) 1. Fall 2. Fall Durch die Regel des baumdiagramms müssen wir diese addieren, wir erhalten also als Ergebnis: |
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| 27.01.2011, 10:49 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so. Ok. Das hatte ich ja noch nicht. also, muss ich beide möglichkeiten haben, und die dann zusammenrechnen oder? gut, ich mache das nochmal:
also: ich habe 20/72 bzw. 5/18. und dann nächster FAll: ERstes mal: W. für eine Schwarze: 4/9 da 4 von 9 Kugeln schwarz sind. Zweites mal: W. für eine weiße: 5/8 da 5 von 8 Kugeln weiß sind. 4/9*5/8= 29/72 bzw. 5/18. 5/18*5/18=25/324 ähm. ich sehe gerade: du hast * hingeschrieben aber + gerechnet.. welches von den beiden brauche ich denn da? |
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| 27.01.2011, 10:54 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die einzelnen Fälle Multiplikation enspricht der Pfadregel, das steht mithilfe der MUltiplikation unter Fall 1 und Fall2. Da es zwei Fälle gibt müssen diese am Schluß addiert werden, das habe ich getan. Hier die beiden einzelnen Fälle addieren, das habe ich oben gemacht: |
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| 27.01.2011, 11:03 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach ja.. ich hatte da was übersehen
sorry. also, in den Beiden Fällen, (manchmal sind es warscheinlich auch mehr
) multiplizieren, und dann die ERgebnisse addieren oder? |
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| 27.01.2011, 11:10 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
GENAU, für näheres einfach mal die Regeln des baumdiagramms nachschlagen. Jetzt können wir zum 2. Aufgabenteil gehen |
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| 27.01.2011, 11:19 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, das mache ich dann mal
Ok:
1. ERstes mal: W. ist 4/9 da 4 von 9 schwarz sind. zurücklegen... Zweites mal: W. ist 4/9 da 4 von 9 schwarz sind. Warscheinlichkeit: 4/9*4/9=16/81 2. Erstes mal: W. ist 4/9 da 5 von 9 weiß sind. Zurücklegen... Zweites mal: W. ist 5/9 da 5 von 9 weiß sind. Warscheinlichkeit: 5/9*5/9=25/81 3. 1. Fall: Erstes mal: W. ist 5/9 da 5 von 9 weiß sind. Zurücklegen... Zweites mal: W. ist 4/9 da 4 von 9 schwarz sind. 5/9*4/9=20/81 2. Fall: Erstes mal: W. ist 4/9 da 4 von 9 schwarz sind. Zurücklegen... Zweites mal: W. ist 5/9 da 5 von 9 schwarz sind. 4/9*5/9=20/81 20/81+20/81=40/81 ja? |
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| 27.01.2011, 11:23 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt alles. Sehr gut.
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| 27.01.2011, 11:28 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Juhu!! 
Danke dir!!!
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| 27.01.2011, 11:32 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann viel Erfolg für deinen Test.
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| 27.01.2011, 11:34 | ruri14 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DAnke!
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