Spezielle Lösung eines LGS

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Hokeydo Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Lösung eines LGS
Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes LGS gegeben



Lösung des Inhomogenen LGS ist 1. Kanns aber mit Latex ned schreiben Sry!

Eine einfache Aufgabe um zu verstehen wie spezielle Lösungen berechnet werden.

Wenn man mithilfe eines Parameters die Lösung des inhomogenen LGS nun berechnet kommt als Lösungsmenge:[(t,1-t,t)] raus. und jetz frag ich mich wies weitergeht!

Meine Ideen:
Zuerst einmal. Wie bekomme ich eine "spezielle Lösung"? In den Lösungen die ich bisher gesehen habe muss ich versuchen die einzelnen x gleich null werden zu lassen! Also erstes x_1 = t = 0 dann habe ich eine spezielle Lösung (0,1,0) und weiter x_2 = 1 = t dann habe ich als spezielle Lösung (1,0,1)

Ist es richtig, dass ich auf diesem Weg eine spezielle Lösung des LGS erhalte?

Zweitens:
Hab mittlerweile verstanden, dass ich nun die Lösungsmenge des homogenen LGS berechnen muss. Die Lösungsmenge ist:[(t,-t,t)]

Wie gehts dann jetz weiter? Ich weiß, dass spezielle Lösung und Lösungsmenge des homogenen LGS addiert werden müssen aber als Lösung stimmt des bei mir so nicht?

ich bekomme [(1+t),(-t),t)] raus?! Also Lösung in der Vorlage bekomme ich aber [(t),(1-t),(t)] Was habe ich falsch gerechnet?

Ich verstehs echt nicht mehr...

vielleicht kann ja jemand schnell drüberschaun...

gruß
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du erhältst die spezielle Lösung, wenn du t = 0 setzt (nicht x = 0).
Die Gesamtlösung ergibt sich nun aus der Addition

X = (0; 1; 0) + t(1; -1; 1)

Geometrisch ist es der Schnitt zweier Ebenen nach einer Geraden.

mY+
Hokeydo Auf diesen Beitrag antworten »

aber t = 1 ist dann keine spezielle Lösung?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

t ist keine Lösung, sondern ein Parameter. Lösungen sind die Tripel (x; y; z).
Natürlich ist x = t im weiteren Sinne eine Lösung, beschreibt aber genau genommen eine Lösungsschar. Denn t kann ja alle reellen Zahlen durchlaufen.
Daher wird der Parameter t ausgeklammert und vor das Tripel geschrieben.

mY+
Hokeydo Auf diesen Beitrag antworten »

o.k. soweit kann ich die Rechung nachvollziehen. Danke erstmal dafür.

Aber was mich jetzt noch beschäftigt ist, weshalb ich t=0 nehme um eine spezielle Lösung zu erhalten. Was ich vorher meinte mit t=1 war, in die Lösungsmenge für t gleich 1 einsetzen und dann bekomme ich ja eine andere Lösungsmenge, nämlich (1,0,1)

Klar, die hängt ja nach wie vor mit dem Parameter t zusammen, aber wieso ausgerechnet t=0? Ist das eine notwendige Bedingung, wenn ich eine spezielle Lösung haben will oder überseh ich irgendeine Eigenschaft im GS? Sprich nach welchen Kriterien wählt man t??

danke nochmal
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die vollkommene Freiheit bei der Wahl von t. Egal, welchen Wert von t (-1, 0, 1, 2, 13, 23456, ..) man einsetzt, man erhält immer eine partikuläre Lösung (Teil-Lösung) aus der Lösungsgesamtheit.
Hier besteht diese Gesamtheit aus unendlich vielen Punkten einer Geraden. Für ein bestimmtes t wird aus dieser Geraden lediglich ein einzelner Punkt herausgegriffen.

Weil das Herausgreifen einer Einzellösung auf unendlich viele Arten erfolgen kann (je nachdem, wie t gewählt wird), sehen die möglichen Parameterformen der Gesamtlösung alle unterschiedlich aus, aber sie alle beschreiben dennoch dieselbe Gesamtlösung (dieselbe Gerade).

mY+
 
 
Hokeydo Auf diesen Beitrag antworten »

also dann ist der Begriff spezielle Lösung eigentlich irreführend? Eher ist es eine mögliche Lösung?

Wie kann dann das Ergebnis also die Addition interpretiert werden?
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