Identität sin(kx)

26.01.2011, 14:47

MatheCons

Identität sin(kx)

Hallo MatheBoard!

Habe noch eine Aufgabe bei der ich nicht weiter weiß.. Kann mich auch nicht entsinnen, dass Ähnliches schon in der Vorlesung behandelt wurde, von daher bin ich für Hilfe sehr dankbar!

Zu beweisen ist folgende Identität:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \sin(kx) = \frac{\sin(\frac{n}{2}x)\sin(\frac{n+1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \ und \ x \in \mathbb R \ mit \ \sin(\frac{x}{2}) \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

lg

26.01.2011, 15:03

Manni Feinbein

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RE: Identität sin(kx)

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Benutze die Eulerschen Formeln, um den Sinus durch die Exponentialfunktion darzustellen.

29.01.2011, 21:32

Gast898

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Hmm meinst du so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n sin(kx)=\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2i} (e^{ikx} -e^{-kx} ) \end{eqnarray*}$

29.01.2011, 22:43

dr.morrison

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Hi,

ja, das ist richtig, bis auf, dass du in der Differenz ein i im Exponenten vergessen hast. Und jetzt spalte auf, geometrische Reihe, fertig. (Denke, Manni Feinbein wollte auch darauf hinaus.) Mfg, dr.morrison

30.01.2011, 11:46

Gast898

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@dr.morrison,
noch eine Frage zwischendurch^^
Die von mir oben genannte Formel gilt ja wenn $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ ,
in der Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ändert sich nicht was in der Formel?

30.01.2011, 12:00

moonflower

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aber wie kommt man dann weiter?

30.01.2011, 12:05

dr.morrison

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Hi,

die Formel gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , ferner $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subseteq \mathbb C \end{eqnarray*}$ , insbesondere. mfg, dr.morrison

edit. Nütze die geometrische Summenformel - sie ist unter http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html zu finden.

30.01.2011, 12:31

Gast 898

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Ich weiß nicht, ob ich auf dem richtigen Wege bin, deswegen zeig ich mal meinen Versuch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i}( \sum\limits_{k=1}^n (e^{ix})^{k}-\sum\limits_{k=1}^n (e^{-ix})^{k})=\frac{1}{2i}(\frac{1-(e^{ix})^{n+1}}{1-e^{ix}}- \frac{1-(e^{-ix})^{n+1}}{1-e^{-ix}}) \end{eqnarray*}$

Benutzt habe ich diese Formel für geom. Reihen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x^{n} =\frac{1-x^{n+1} }{1-x} \end{eqnarray*}$

30.01.2011, 12:44

dr.morrison

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Hi,

hier musst Du beachten, dass bei der geometrischen Reihe die Summation bei k=0 beginnt. Du musst, wenn Du bei k=1 beginnst, den Term modifizieren (geht aber leicht). Ansonsten bist du meiner Ansicht nach auf dem richtigen Weg.
mfg, dr.morrison

30.01.2011, 12:53

Gast898

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Ja wird jeweil mit dem ersten Glied der Reihe noch multipliziert oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i}( \sum\limits_{k=1}^n (e^{ix})^{k}-\sum\limits_{k=1}^n ( e^{-ix})^{k})=\frac{1}{2i}(\frac{e^{ix} (1-(e^{ix})^{n+1})}{1-e^{ix}}- \frac{e^{-ix} (1-(e^{-ix})^{n+1})}{1-e^{-ix}}) \end{eqnarray*}$

Ja wird jeweil mit dem ersten Glied der Reihe noch multipliziert oder?
Was mich verwirrt ist der Bruch vor der Klammer mit i, weil bei der Lösung sind keine i's vorhanden....

30.01.2011, 13:13

dr.morrison

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Hi, also so habe ich mir das gedacht: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} - 1 = <br /> \frac{1-q^{n+1}-1+q}{1-q} = \frac{q-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ , so lautet die richtige Formel, hier wird nichts ranmultipliziert. Übrigens: Bei geeigneter Umformung wird sich hierbei die imaginäre Einheit wegheben.

mfg, dr.morrison

30.01.2011, 13:29

Gast898

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Ja habe ich jetzt verstanden, danke.
Soll ich jetzt auf gemeinsamen Nenner bringen? Mir fällt keine passende Umformung ein, sodass ich weiterkomme...

30.01.2011, 13:41

dr.morrison

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Genau. Die Umformungen sind allerdings nicht ganz trivial, aber mit ein bisschen Sitzfleisch packst du die schon (hatten die Aufgabe damals in Funktionentheorie auch).
Los Rockos, dr.morrison

30.01.2011, 13:47

Gast898

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Merci beaucoup für die Hilfe, dann mach ich mich an die Abreit.
Und wegen dem Nenner, ich multipliziere dann mit dem komplex Konjugiertem und dann hebt sich das i im Nenner auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2i} = \frac{-2i}{2i*(-2i)} = \frac{-i}{2} \end{eqnarray*}$

Nun ist sie aber im Zähler^^

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