Parameterdarstellung einer Flächenkurve

26.01.2011, 16:08	flixe	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameterdarstellung einer Flächenkurve Hallo, stehe vor folgender Aufgabe: Eine Fläche F sei gegeben durch $\begin{eqnarray} \vec{x} (u,v) = \begin{pmatrix} u \\ v \\ u^3 - 3uv^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Flächenkurve $\begin{eqnarray} f = F\cap E \end{eqnarray}$ wird festgelegt durch die Ebene $\begin{eqnarray} E: x1 = a \end{eqnarray}$ . Geben Sie eine Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec{x} (u(t),v(t)) \end{eqnarray}$ dieser Kurve an. Da ja x1 nun ein fester Wert ist, dürfte die Funktion erstmal so lauten: $\begin{eqnarray} f: \vec{x} (u,v) = \begin{pmatrix} a \\ v \\ u^3 - 3uv^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich will also jetzt noch die x2 und die x3 Koordinate irgendwie durch t anstatt von (u,v) ausdrücken und hier weiß ich nicht, wie ich ansetzen soll. Ich hab die Funktion auch mal in Maple gezeichnet, und dort sah diese Flächenkurve wie eine Parabel aus. Je nachdem wie man sein a wählt, wurde diese Parabel gestaucht oder gestreckt. Demnach müsste a doch auch in der Gleichung von f auftauchen oder? Vielleicht ist die letzte Überlegung auch Blödsinn, wäre trotzdem froh, wenn mir jemand antworten könnte.
26.01.2011, 16:30	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parameterdarstellung einer Flächenkurve Es ist x1 = a = u (setze für u überall a ein). Somit bleibt nur v als Parameter übrig (und es gibt tatsächlich eine Parabel). [attach]17818[/attach]
27.01.2011, 11:40	flixe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für deine Antwort. Ich stehe jetzt also vor folgender Funktion: $\begin{eqnarray} \vec{f}(v) = \begin{pmatrix} a \\ v \\ a^3 - 3av^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beim nächsten Schritt war ich mir dann nicht so sicher: Da ich nun v irgendwie durch den Parameter t darstellen will hab ich einfach mal folgende Gleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} t = a^3 - 3av^2<br /> <br /> \Rightarrow v = \sqrt{\frac{t - a^3}{-3a} } \end{eqnarray}$ Das Ganze hab ich dann in den obigen Vektor eingesetzt: $\begin{eqnarray} \vec{f}(t) = \begin{pmatrix} a \\ \sqrt{\frac{t - a^3}{-3a} } \\ a^3 - 3a\frac{t - a^3}{-3a} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und weiter umgeformt bekomme ich da dann folgendes raus: $\begin{eqnarray} \vec{f}(t) = \begin{pmatrix} a \\ \sqrt{\frac{t - a^3}{-3a} } \\ t + 2a^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nur müsste da ja irgendwo ein t² vorkommen, damit eine Parabel entsteht. Ist die Überlegung grundsätzlich falsch oder hab ich nur irgendwo einen Fehler?
27.01.2011, 11:49	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 2a^3 \end{eqnarray}$ ganz am Schluss fällt weg, ist falsch. Vor der Quadratwurzel steht plus/minus (sonst wird nur die Hälfte der Parabel beschrieben). Es war deine Entscheidung, die 3. Komponente t zu nennen. Hättest du die 2. Komponente t genannt, wäre es einfacher geworden: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ t \\ a^3 - 3a t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . In der y-z-Ebene hätte die Parabel dann die Gleichung $\begin{eqnarray} z = a^3 - 3a y^2 \end{eqnarray}$ .
27.01.2011, 12:11	flixe	Auf diesen Beitrag antworten »
Thx für die schnelle Antwort! Also ich hatte mir das erst wie bei dir überlegt, aber dachte, dass es irgendwie zu einfach wäre. Dabei ist es ja das Gleiche. Aber manchmal ist eben selbst der einfache Weg der Richtige.

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