g-adische Entwicklung

26.01.2011, 16:25

Gast11022013

g-adische Entwicklung

Meine Frage:
Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} g\in K[X] \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} d>0 \end{eqnarray*}$ . Zeige die Existenz der sog. g-adischen Entwicklung in $\begin{eqnarray*} K[X] \end{eqnarray*}$ :
Zu jedem $\begin{eqnarray*} f\in K[X] \end{eqnarray*}$ gibt es eindeutig bestimmte Polynome $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,a_2,...\in K[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad < d, wobei $\begin{eqnarray*} a_i=0 \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} i\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f=\sum_{i}a_ig^i \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Muss man hier zeigen (I.) Existenz dieser Polynome und (II.) Eindeutigkeit?`

Ich hätte jetzt so angefangen, dass ich erstmal das Polynom f ausschreibe:

$\begin{eqnarray*} f=\sum_{i}a_i*(b_dX^d+b_{d-1}X^{d-1}+...+b_1X+b_0)^i \end{eqnarray*}$ , wobei hier $\begin{eqnarray*} g=\sum_{j=0}^{d}b_jX^j \end{eqnarray*}$ eingesetzt wurde.

Doch ich weiß nun an diesem Punkt nicht weiter.

Wie könnte man hier fortfahren?

26.01.2011, 17:27

Gast11022013

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RE: g-adische Entwicklung
Muss man vielleicht Division von Polynomen mit Rest verwenden?

Wer kann mir begründen warum, falls es so ist. Bei mir ist es nur Intuition, aber ich weiß nicht, warum.

26.01.2011, 17:57

Leopold

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Eine gute Intuition ...

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant gleich $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, dann bekommt man mit $\begin{eqnarray*} a_0 = c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_i = 0 \end{eqnarray*}$ sonst das Verlangte.

Jetzt nimm an, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Grad $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ besitzt. Bestimme zunächst die ganze Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ so, daß

$\begin{eqnarray*} md \leq n < (m+1)d \end{eqnarray*}$

ist und dividiere $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ mit Rest, bestimme also Polynome $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f = a_m g^m + \tilde{f} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ entweder das Nullpolynom ist oder kleineren Grad als $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ besitzt.
Was kann man nun über die Grade der Polynome $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ herausbekommen? Und wie geht das weiter?

26.01.2011, 18:16

Gast11022013

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Ich verstehe ehrlich gesagt Deine sehr formale Schreibweise nicht so gut, ich versuche aber mal, es aufzuschreiben.

Zunächstmal kann man ja f mal schreiben als

$\begin{eqnarray*} f=a_kg^k+a_{k-1}g^{k-1}+...+a_1g+a_0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,...,a_k \end{eqnarray*}$ Polynome mit Grad<g sind und $\begin{eqnarray*} a_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ gelte.

Und nun benutze ich die Division von Polynomen mit Rest.
[Bestimmt nicht so schön formal.]

$\begin{eqnarray*} f:g=f_1, f_1=a_kg^{k-1}+...+a_2g+a_1 \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1:g=f_2, f_2=a_kg^{k-2}+...+a_2 \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$
.
.
.
$\begin{eqnarray*} f_{k-1}:g=f_k, f_k=a_kg^{k-k}=a_k \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} f_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_k:g=0 \end{eqnarray*}$ und Rest $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$

Was ich nun nicht verstehe ist, warum hiermit die Eindeutigkeit gezeigt ist.
[Vielleicht ist sie das ja auch noch gar nicht und ich irre mich.]

26.01.2011, 18:18

Leopold

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Wolltest du nicht zunächst I. die Existenz nachweisen? Jedenfalls zielt mein Beitrag darauf ab.

26.01.2011, 18:27

Gast11022013

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Ja, stimmt. Erst die Existenz.

Die ist also nun gezeigt [hoffe ich].

Bei der Eindeutigkeit macht man es ja meist so, dass man annimt, es gibt eine zweite Darstellung [hier von f] und muss dann zeigen, dass diese beiden Darstellung doch die gleichen Darstellungen sind.

Aber folgt in diesem Fall die Eindeutigkeit nicht aus der Division mit Rest?

Zumindest gibt es ja einen Satz, der sagt:

"Es sei R ein Ring und $\begin{eqnarray*} g=\sum_{i=0}^{d}a_iX^i\in R[X] \end{eqnarray*}$ ein Polynom, dessen höchster Koeffizient eine Einheit in R ist. Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} f\in R[X] \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmte Polynome $\begin{eqnarray*} q,r\in R[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f=qg+r, grad r < d \end{eqnarray*}$ ."

Diesen Satz hatten wir in der Vorlesung bewiesen.

26.01.2011, 18:32

Leopold

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ja, stimmt. Erst die Existenz.

Die ist also nun gezeigt [hoffe ich].

Das hoffe ich auch. Aber ich bin mir nicht sicher, daß du verstanden hast, warum die Existenz schon beinahe gezeigt ist.

26.01.2011, 18:35

Gast11022013

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Ein berechtigter Zweifel! Ich habe es nämlich wirklich nicht verstanden. Vielleicht wärst Du ja so geduldig und erklärst es mir ein bisschen?

[Stimmt denn meine Vermutung, dass man die Eindeutigkeit hier nicht zeigen muss?]

26.01.2011, 18:37

Leopold

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Stichwort: Grad von $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ ... Induktion ...

26.01.2011, 18:42

Gast11022013

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Also was mir dazu auffällt ist, dass im ersten Schritt ja der Grad des Restes 0 ist, dann im nächsten Schritt ist er vom Grad 1 und so weiter, bis man schließlich beim Grad k ankommt.

EDIT:

Achnee, das stimmt ja gar nicht.

26.01.2011, 18:48

Gast11022013

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Die Grade der Reste sind doch nach Voraussetzung kleiner d.

26.01.2011, 18:51

Leopold

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Di zitierst ja selbst die Polynomdivision:

Zitat:

Original von Dennis2010
"Es sei R ein Ring und $\begin{eqnarray*} g=\sum_{i=0}^{d}a_iX^i\in R[X] \end{eqnarray*}$ ein Polynom, dessen höchster Koeffizient eine Einheit in R ist. Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} f\in R[X] \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmte Polynome $\begin{eqnarray*} q,r\in R[X] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f=qg+r, grad r < d \end{eqnarray*}$ ."

Und die habe ich angewandt auf $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ mit einer wichtigen Voraussetzung über $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ . Was bei dir $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ heißt, habe ich $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ genannt. Den Index habe ich angehängt im Blick auf die spätere Induktion. Und was bei dir $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ heißt, habe ich aus suggestiven Gründen $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ genannt.

Jetzt mußt du zunächst begründen, warum für $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ die in der Aufgabe verlangte Gradbedingung erfüllt ist. Des weiteren, warum es zulässig ist, auf $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.

26.01.2011, 18:56

Gast11022013

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Zitat:

Original von Leopold

Jetzt mußt du zunächst begründen, warum für $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ die in der Aufgabe verlangte Gradbedingung erfüllt ist. Des weiteren, warum es zulässig ist, auf $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anzuwenden.

Ich kann das leider nicht.
unglücklich

26.01.2011, 18:57

Leopold

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Was für einen Grad hat denn $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ ?

26.01.2011, 18:59

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ ? Müsste den Grad d haben.

26.01.2011, 19:04

Leopold

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Nein, $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ hat doch den Grad $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ (siehe Voraussetzung der Aufgabe). Was ist also nun mit $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ ?

26.01.2011, 19:10

Gast11022013

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Ich will hier kein Rätselraten veranstalten...

Ich habe wirklich keine Idee!

Der Grad von $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ ...

m?

26.01.2011, 19:13

Leopold

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Wenn du ein Polynom vom Grad 7 mit sich selbst multiplizierst, was hat dann das Produkt für einen Grad? Und wenn du das Polynom in die dritte Potenz erhebst, was ist dann der Grad? Und die m-te Potenz?

26.01.2011, 19:15

Gast11022013

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Wenn man ein Polynom vom Grad 7 mit sich selbst multipliziert, hat man den Grad 7+7=14 und bei der dritten Potenz 21.

Also bei der m-ten Potenz m*7

26.01.2011, 19:16

Leopold

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Und $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ hat damit den Grad ...

26.01.2011, 19:17

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} grad(g^m)=m*d \end{eqnarray*}$ .

26.01.2011, 19:20

Leopold

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Ja. Und als nächstes kannst du etwas über den Grad von $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ sagen, und zwar gemäß dem von dir zitierten Polynomdivisionssatz.

26.01.2011, 19:21

Gast11022013

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Also dieser Grad ist dann kleiner als m*d

26.01.2011, 19:23

Leopold

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So ist's. Aber ich habe ja die Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ auf eine ganz bestimmte Art und Weise festgelegt. Folgerung für den Grad von $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ ?

26.01.2011, 19:27

Gast11022013

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Meinst Du

$\begin{eqnarray*} md\leq n \end{eqnarray*}$ ?

26.01.2011, 19:31

Leopold

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Genau, $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ hat einen Grad $\begin{eqnarray*} <n \end{eqnarray*}$ , weil der Grad ja schon kleiner als $\begin{eqnarray*} md \end{eqnarray*}$ ist. Jetzt die ganze Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f = a_m g^m + \tilde{f} \end{eqnarray*}$

Links steht ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Also muß auch rechts ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stehen. Nun hat aber $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ einen Grad $\begin{eqnarray*} < n \end{eqnarray*}$ . Folgerung?

26.01.2011, 19:35

Gast11022013

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Ich bin nicht gut im Folgern.

Ich würde sagen, dann muss der restliche Ausdruck (also $\begin{eqnarray*} a_mg^m \end{eqnarray*}$ ) das Ganze zu einem Polynom vom Grad n ergänzen.

26.01.2011, 19:37

Leopold

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Unklare Aussage.

Stelle dir links ein Polynom vom Grad 98 vor und rechts eine Summe zweier Polynome, von dem das zweite den Grad 73 hat. Was kannst du dann über den ersten Summanden sagen, und zwar exakt?

26.01.2011, 19:38

Gast11022013

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Der erste Summand hat dann Grad 25?

26.01.2011, 19:41

Leopold

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Aber nein.

$\begin{eqnarray*} 201x^{25} + 133 x^{24} -76 x^{23} + \ldots + 4 x^{73} - 19 x^{72} + \ldots \end{eqnarray*}$

hat doch den Grad 73 und nicht 98.

26.01.2011, 19:44

Gast11022013

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Dann muss der Summand den Grad 98 haben.

26.01.2011, 19:45

Leopold

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Was hat also $\begin{eqnarray*} a_m g^m \end{eqnarray*}$ für einen Grad?

26.01.2011, 19:46

Gast11022013

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Es hat den Grad n.

26.01.2011, 19:49

Leopold

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Den Grad von $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ hatten wir aber schon. Du erinnerst dich? Was muß also $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ für einen Grad haben? Aber Vorsicht! Jetzt liegt wieder ein Produkt von Polynomen vor. Und wie das da mit den Graden ist, damit haben wir uns vorhin schon beschäftigt.
Berechne also den Grad von $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ .

26.01.2011, 19:52

Gast11022013

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Also der Grad von $\begin{eqnarray*} g^m \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} m*d \end{eqnarray*}$ .
Dann müsste der Grad von $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n-m*d \end{eqnarray*}$ sein.

26.01.2011, 19:55

Leopold

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Jetzt schau dir noch einmal die Definition von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} md \leq n < (m+1)d \end{eqnarray*}$

(Wir gehen also die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ durch, bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zwischen zweien von ihnen liegt.) Forme diese Ungleichung so um, daß in der Mitte der Grad von $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ steht, den du ja gerade berechnet hast.

26.01.2011, 19:58

Gast11022013

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[Jetzt offenbare ich vollkommen mein Nichtkönnen.]

$\begin{eqnarray*} 0\leq n-m*d\leq (m+1)*d \end{eqnarray*}$ So?

26.01.2011, 20:00

Leopold

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Du solltest natürlich auch rechts $\begin{eqnarray*} md \end{eqnarray*}$ abziehen.

26.01.2011, 20:01

Gast11022013

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Ja, das macht wohl Sinn. Hammer

Also:

$\begin{eqnarray*} 0\leq n < d \end{eqnarray*}$

26.01.2011, 20:09

Leopold

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Fast! Richtig wäre (in allen Teilen der Ungleichung wurde $\begin{eqnarray*} md \end{eqnarray*}$ subtrahiert)

$\begin{eqnarray*} 0 \leq n - md < d \end{eqnarray*}$

Und in der Mitte steht der Grad von $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ .

Hoffentlich stellen sich bei dir jetzt Glücksgefühle ein. Denn wir haben, daß $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ einen Grad $\begin{eqnarray*} < d \end{eqnarray*}$ besitzt, wie es in der Behauptung steht.

$\begin{eqnarray*} f = a_m g^m + \tilde{f} \end{eqnarray*}$

Jetzt machen wir Induktion. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hatte den Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , und wir nehmen an, daß die Behauptung für Polynome von einem Grad $\begin{eqnarray*} < n \end{eqnarray*}$ schon bewiesen ist (Induktionsannahme). Nun hat aber, wie gerade gezeigt, $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ einen Grad $\begin{eqnarray*} < n \end{eqnarray*}$ . Du kannst also auf $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ die Induktionsannahme anwenden. Und jetzt erkennst du auch, warum es hier besser ist, nicht von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , sondern von $\begin{eqnarray*} \tilde{f} \end{eqnarray*}$ zu reden.

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