g-adische Entwicklung - Seite 2

26.01.2011, 20:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Induktionsannahme anwenden, okay. Und die Existenz ist also jetzt gezeigt?
26.01.2011, 20:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Du zweifelst? Dann gehe die Argumentation noch einmal ganz von vorne durch. Der Trick war hier die richtige Definition der ganzen Zahl $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ .
26.01.2011, 20:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ich zweifle nicht, ich bin nur etwas verdutzt. Ich muss nochmal eine doofe Frage stellen. Wie würde man denn jetzt die Induktionsannahme abschließend anwenden.
26.01.2011, 20:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ hat einen Grad $\begin{eqnarray} < n \end{eqnarray}$ , nicht unbedingt $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ , er könnte auch $\begin{eqnarray} n-2 , n-3 \end{eqnarray}$ usw. sein. Ja nicht einmal das Nullpolynom ist ausgeschlossen, falls nämlich unsere Polynomdivision aufgeht. Aber das macht nichts, denn nach Induktionsannahme hat $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ die vorgeschriebene Darstellung. Wenn also $\begin{eqnarray} \tilde{f} \end{eqnarray}$ den Grad $\begin{eqnarray} k<n \end{eqnarray}$ hat, gilt: $\begin{eqnarray} \tilde{f} = \sum_{i=0}^k a_i g^i \end{eqnarray}$ Und insgesamt: $\begin{eqnarray} f = a_m g^m + \sum_{i=0}^k a_i g^i \end{eqnarray}$ Die rechte Seite hat, wenn man fehlende Glieder noch mit Hilfe von Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_i = 0 \end{eqnarray}$ formal ergänzt, die Gestalt $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^m a_i g^i \end{eqnarray}$ Und daß in der Aufgabe als obere Grenze $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ bzw. gar nichts angegeben ist, ist nur eine formale Schreibweise, um in der Formulierung den höchsten Exponenten von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ nicht mitschleppen zu müssen, zum Ausdruck gebracht durch die Formulierung, daß fast alle $\begin{eqnarray} a_i = 0 \end{eqnarray}$ sind. In Wirklichkeit handelt es sich also immer um eine gewöhnliche endliche Summe. Etwas anderes wäre bei Polynomen ja auch blödsinnig. Zur hier durchgeführten Induktionsvariante siehe hier.
26.01.2011, 20:43	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine schwere Aufgabe! Und die Eindeutigkeit fehlt ja sogar auch noch!
26.01.2011, 20:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Da kümmerst du dich jetzt aber alleine drum. Wie wäre es damit, die Differenz zweier möglicher Darstellungen zu bilden? Vielleicht kann man irgendwie begründen, daß darin alle Koeffizienten 0 sein müssen. Also ähnlich wie bei Linearkombinationen von Vektoren. Vielleicht wieder über Graduntersuchungen? Ich klinke mich aus ...
Anzeige

« vorherige Seite 12

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »