erwartungstreuer Schätzer

26.01.2011, 16:25

shapal

erwartungstreuer Schätzer

Meine Frage:
die Frage ist:
X1,X2,...,Xn seien für ein $\begin{eqnarray*} \beta \in R \end{eqnarray*}$ unabhängig, identisch Exp( $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ )-verteilte Zufallvariablen.
a) Man zeige dass, der Schätzer
$\begin{eqnarray*} Tn(X1,...,Xn)= \left(\frac{1}{n}\times \sum\limits_{k=1}^n Xk \right)^{2} \end{eqnarray*}$
nicht erwartungstreu für t(ß)=1/ß^2 ist.

Meine Ideen:
E(X)= 1/ß
$\begin{eqnarray*} E \left(\frac{1}{n}\times \sum\limits_{k=1}^n Xk \right)^{2} =\frac{1}{n^{2}}\times E \left(\sum\limits_{k=1}^n Xk\right)^{2}= \frac{1}{n^{2}} n^{2}(E(X))^2 = (E(X))^2 \end{eqnarray*}$
naja das passt aber nicht unglücklich

weil dann T doch für t(ß)=1/ß^2 erwartungstreu ist
ich weiss es nicht wo meinen Fehler liegt, kann vielleicht jemand mir helfen?

26.01.2011, 17:11

René Gruber

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Zitat:

Original von shapal
$\begin{eqnarray*} E \left(\sum\limits_{k=1}^n X_k\right)^{2}= n^{2}(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichheit stimmt nicht. unglücklich

Tatsächlich ergibt sich nach Ausmultiplizieren

$\begin{eqnarray*} E \left(\sum\limits_{k=1}^n X_k\right)^{2} = nE(X^2) + n(n-1)(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ .

26.01.2011, 18:31

shapal

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erstmal danke für deinen hinweis ich habe es jetzt anders versucht komme aber trotzdem nicht weiter. ich vestehe leider nicht wie du das berechnet hast.
wenn ich versuche $\begin{eqnarray*} ({\sum\limits_{k=1}^n xk })^2 \end{eqnarray*}$ angenommen Xk=x für alle 1<=k<=n zu lösen habe ich dann (n^2)(x^2) und damit wird E(T)=E(x^2) unglücklich

26.01.2011, 18:39

René Gruber

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Wir sind uns doch erstmal über

$\begin{eqnarray*} E \left(\sum\limits_{k=1}^n X_k\right)^2 = E \left( \sum\limits_{k=1}^n X_k^2 + \sum_{k=1}^n \sum_{\substack{j=1\\ j\neq k}}^n X_kX_j \right) = \sum\limits_{k=1}^n E(X_k^2) + \sum_{k=1}^n \sum_{\substack{j=1\\ j\neq k}}^n E(X_kX_j) \end{eqnarray*}$

einig, oder? Desweiteren wird dann wegen der bestehenden Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\neq j \end{eqnarray*}$ nur noch $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) = E(X_k)E(X_j) \end{eqnarray*}$ eingesetzt und die von mir oben angegebene Formel steht fast schon da.

Du machst anscheinend den Fehler, $\begin{eqnarray*} E(X_kX_j) = E(X_k)E(X_j) \end{eqnarray*}$ auch für $\begin{eqnarray*} k=j \end{eqnarray*}$ anzunehmen, was aber falsch ist. unglücklich

26.01.2011, 19:37

shapal

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so dumm von mir Hammer

vielen Dank smile

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