Lineare Abhängigkeit

26.01.2011, 15:52

NewbieNoob

Lineare Abhängigkeit

Meine Frage:
(i) Die Vektoren u1; u2; u3; u4 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R5 seien linear abhängig. Dann kann u4 in jedem Fall
in der Form u4 = o1u1 + o2u2 +o3u3 mit geeigneten Skalaran o1 ;o2;o3 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R dargestellt
werden.

(ii) Die vier Vektoren v1; v2; v3; v4 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R10 seien linear unabhängig, ebenso seien die drei
Vektoren w1; w2; w3 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R10 linear unabhängig. Dann ist in jedem Fall auch die Gesamtheit
der sieben Vektoren u1; u2; u3; u4; w1; w2; w3 linear unabhängig.

(iii) Die beiden Vektoren z1; z2 \in R5 seien linear unabhängig. Wir bilden die beiden
weiteren Vektoren x1 und x2.
x1=z1+2z2
x2=2z1-z2
Dann sind auch die Vektoren lin unabh.

Meine Ideen:
Hi, ich hoffe ihr könnt mir helfen und vllt paar Fehler ausbessern die ich gemacht hab.
Also zu
i) Hab ich mir gedacht. Nein, sonst wären sie ja lin. abh.
ii)Ebenfalls nein. Da hab ich als Gegenbsp. v1,v2,v3,v4=e1,e2,e3,e4 und für

$\begin{eqnarray*} w1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} w2=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} w3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So kann ich zB aus e1+e2+e3=w1 bilden

iii)
Hier hätte ich ja gesagt. Kein Gegenbespiel gefunden. Aber keine richtige Idee wie ichs zeigen soll

für Hilfe wäre ich dankbar Big Laugh

mfg

26.01.2011, 16:19

lgrizu

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RE: Lineare Abhängigkeit

Zitat:

Original von NewbieNoob
Meine Frage:
(i) Die Vektoren u1; u2; u3; u4 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R5 seien linear abhängig. Dann kann u4 in jedem Fall
in der Form u4 = o1u1 + o2u2 +o3u3 mit geeigneten Skalaran o1 ;o2;o3 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R dargestellt
werden.

Zitat:

Original von NewbieNoob
i) Hab ich mir gedacht. Nein, sonst wären sie ja lin. abh.

Lass dir das noch mal durch den Kopf gehen.

Die 2 sieht gut aus, widmen wir uns also dieser Aufgabe:

Zitat:

Original von NewbieNoob

(iii) Die beiden Vektoren z1; z2 \in R5 seien linear unabhängig. Wir bilden die beiden
weiteren Vektoren x1 und x2.
x1=z1+2z2
x2=2z1-z2
Dann sind auch die Vektoren lin unabh.

Hier soll wahrscheinlich gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, ansonsten wäre die Aufgabe trivial.

Bilde zunächst $\begin{eqnarray*} \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2=0 \end{eqnarray*}$ , setze die entsprechenden Linearkombinationen für die Vektoren ein.

26.01.2011, 18:26

NewbieNoob

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Oh bei der i) hab ich wohl verlesen.
Ich würde sagen die aussage ist falsch.
$\begin{eqnarray*} u1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} u2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} u3=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} u4=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In dem Fall wären sie ja lin. abh aber u4 würde sich nicht als lin. komb. darstellen lassen.

tut mir leid. bei der iii) steh ich wohl am schlauch.
Die Idee hatte ich auch.
Da hatte ich $\begin{eqnarray*} \alpha 1\ (z1+z2) + \alpha 2(2z1-z2)=0 \end{eqnarray*}$
Woraus ich schließen würd, das sie lin. unabh sind...

26.01.2011, 18:41

lgrizu

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Okay, dann wäre die 1 auch erledigt.

Zur 3:

Zweimalige Anwendung des Distributivgesetzes und eine entsprechende Argumentation sollte zur Lösung führen.

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Lineare Abhängigkeit

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