Ist die Matrix A diagonalisierbar?

26.01.2011, 19:33

G0rd0nGeKK0

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Ist die Matrix A diagonalisierbar?

Seien $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N, n \geq 2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} k,l \in \{1, . . . ,n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \neq l \end{eqnarray*}$ . Weiter sei eine Matrix
$\begin{eqnarray*} A = (a_{ij} ) \in \mathbb K ^{nxn} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} a_{ij} = \delta_{ij} + \delta_{ik}\cdot \delta_{jl} \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und entscheiden Sie ob A diagonalisierbar ist.

Kann mir einer erklären wie meine Matrix A aussieht?
http://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta

Ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_{11} = \delta_{11} + ( \delta_{1k} \cdot \delta_{1l}) \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} a_{11} = 1 + ( \delta_{1k} \cdot \delta_{1l} ) \end{eqnarray*}$
Was muss ich hier für k und l einsetzen für $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ ?

27.01.2011, 12:04

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Hi Gordon,

Ich nehme an, dass k und l hier einfach feste Parameter sind und Du die Aufgabe in Abhängigkeit von k und l betrachten musst.

Überlege Dir mal, für welche Werte von i und j der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \delta_{ik}\cdot\delta_{jl} \end{eqnarray*}$ dann überhaupt 1 werden kann.

Gruß,
Reksilat.

27.01.2011, 12:56

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Das kann ja nur der Fall sein wenn $\begin{eqnarray*} i = k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j = l \end{eqnarray*}$ ist.
Also muss $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ sein.

27.01.2011, 13:04

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Weißt Du denn jetzt, wie Deine Matrix allgemein aussieht? Noch Fragen?

27.01.2011, 14:19

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Ok also ich hab dann eine nxn Matrix mit lauter 0en auf der Diagonalen und der Rest sind 1en. Gott

Gott

27.01.2011, 14:22

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Das ist leider total daneben.

Mach doch mal ein Beispiel:
Sei n=3, K=1, l=3.
Nun kannst Du alle neun Einträge der 3x3-Matrix bestimmen.

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27.01.2011, 14:38

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Ok hab für $\begin{eqnarray*} a_{11} = 1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} a_{12} = 0 \end{eqnarray*}$ raus. Mit anderen Worten: Auf der Diagonalen stehen nur 1en und außerhalb eben nur 0en. Es geht nur um Einheitsmatrizen.

27.01.2011, 15:05

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Jetzt weiß ich , warum ich das nicht so ganz checke:

Schau dir das Beispiel an:

$\begin{eqnarray*} a_{13} = \delta_{13}+ \delta_{11}\cdot \delta_{33} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k = 1, l = 3 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a_{13} = 1 \end{eqnarray*}$

Und nun das hier:

$\begin{eqnarray*} a_{13} = \delta_{13}+ \delta_{11}\cdot \delta_{34} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} k = 1, l = 4 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a_{13} = 0 \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

27.01.2011, 15:21

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Das hier habe ich oben geschrieben und dabei auch extra ein gewisses Wort unterstrichen.

Zitat:

Original von Reksilat
Ich nehme an, dass k und l hier einfach feste Parameter sind und Du die Aufgabe in Abhängigkeit von k und l betrachten musst.

Dein $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ kann nicht gleichzeitig 3 und 4 sein, denn damit bekommst Du natürlich einen Widerspruch. unglücklich

unglücklich

27.01.2011, 15:55

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
ok meine Matrizen sind also die Einheitsmatrizen der Form nxn. Wenn man zb eine 8x8 Matrix hat, hat man die Eigenwerte {1,1,1,1,1,1,1,1}.

Wie könnte ich das allgemein für nxn hinschreiben?

27.01.2011, 21:10

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
ok meine Matrizen sind also die Einheitsmatrizen der Form nxn.

Dann hätte man doch $\begin{eqnarray*} a_{ij} = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Auf jeden Fall steht an der Stelle (k,l) doch immer eine zusätzliche 1 in der Matrix.

Und je nach k und l gibt es eben auch zwei verschiedene Typen von Matrizen.

27.01.2011, 21:20

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
ich hab für den Fall k = 1 und l = 3 die Einheitsmatrix rausbekommen. Die Diagonalelemente sind offensichtlich 1. Und wenn $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ dann ist der Eintrag doch 0.

27.01.2011, 21:26

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Du hast doch oben schon ausgerechnet, dass $\begin{eqnarray*} a_{13}=1 \end{eqnarray*}$ ist. Wie kann das die Einheitsmatrix sein?

28.01.2011, 13:19

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Hab mir das nochmal angeschaut, dann bekomm ich eben die Einheitsmatrix mit Ausnahme der Stelle a13, in der eine 1 drin steht.

28.01.2011, 13:21

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Was uns zum Titel des Threads bringt... Ist die Matrix diagonalisierbar?

28.01.2011, 13:31

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Ich würde sagen nein, weil in der Basis aus Eigenvektoren ja ein Eigenvektor "fehlt" der die Diagonale füllt.

zb bei 4x4 hat man eine Basis aus Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} B_{\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 13:36

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Das reicht als Begründung nicht ganz aus, da Du nicht zeigst, weshalb es keine anderen Eigenvektoren mehr geben kann.
Du könntest dazu vielleicht zeigen, dass die 1 der einzige Eigenwert ist und dann zeigen, dass man keine Basis des gesamten VR aus Eigenvektoren angeben kann.

Oder Du argumentierst über charakteristisches und Minimalpolynom.

PS: Und den Fall k=l solltest Du separat betrachten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2011, 13:46

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Ok thx für deine Hilfe smile

smile

Ich werd mir dazu noch was einfallen lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.01.2011, 19:16

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Um nochmal auf die Eigenvektoren zurückzukommen. Wie berechnet man denn Eigenvektoren aus, wenn man nur gleiche Eigenwerte gegeben hat?

Nehmen wir die Matrix A =

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 1 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &1 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin einfach nach Definition gegangen:

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda} = kern (\lambda \cdot I_{n} - A) \end{eqnarray*}$ ist der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Also:

$\begin{eqnarray*} V_{\lambda} = kern ( 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & ...\\ 0 & 1 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &1 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 1 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &1 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab die Eigenvektoren für die 4x4 Matrix schon hingeschrieben, aber vorher eingetippt. Ich würde gern wissen, wie ich Eigenvektoren berechne, wenn ich nur identische Eigenwerte habe, hier in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} = 1 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2011, 13:08

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ...\\ 0 & 0 & 0 & 0 & ...\\ 0 & 0 & 0 &0 & ... \\ ...&...&...&... & ... \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ ...\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du benötigst einfach alle Lösungen dieses LGS.
In diesem Fall steht in der ersten Zeile die Gleichung -c=0 und ansonsten überall 0=0.
Damit ist c=0 und alle anderen Parameter sind frei wählbar.

Gruß,
Reksilat.

31.01.2011, 18:23

G0rd0nGeKK0

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Das ist mir schon klar, aber warum gibt mir das Programm dann folgende Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} B_{\lambda} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für 4x4?

31.01.2011, 22:01

Reksilat

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RE: Ist die Matrix A diagonalisierbar?
Weil diese drei Vektoren den zugehörigen Eigenraum zum Eigenwert 1 erzeugen.
$\begin{eqnarray*} \langle (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)\rangle=\{(a,b,0,d)|a,b,d\in\mathbb{K}\} \end{eqnarray*}$

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