Grenzwerte

20.06.2004, 23:17	tuxracer	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte Kann mir vielleicht jemand allgemeine Denkhilfe zu Grenzwerten geben? Mein Problem ist nicht die Definition, auch nicht die Grenzwertsätze, mein Problem ist eher die Anwendung. Ich wälze mich hier durch mehrere Bücher, hab den Bronstein und noch ein paar Analysisbücher, nur irgendwie hilft mir das alles nichts. Es gab hier auch schon ein paar Posts zu Grenzwerten..Nur irgendwie bringt mich das alles nich so ganz weiter... Bei Grenzwerten hab ich irgendwie erhebliche Vorstellungsprobleme beim Lösung. Fangen wir mal einfach an $\begin{align} \lim_{x \rightarrow 2} x = 2 \end{align}$ .. Das ist soweit ja trivial...Nur was für mich in diesem Moment nicht so ganz trivial ist, ist die Frage woher weiss ich ob Funktionswert und Grenzwert übereinstimmen? Das nächste Problem ist das vorgehen bei 'komplexeren Ausdrücken'. Wenn ich z.B. ein einfaches Polynom habe. 18n^2 + 2n^2 +1 kann ich dann sagen n->0 = \inf weil $\begin{align} \lim_{n \rightarrow \inf} 18n^3 = 18 \lim_{n \rightarrow \inf}n^3 \end{align}$ und n^3 gegen unendlich strebt? $\begin{align} \lim_{n \rightarrow \inf} \frac {16n^2-\sqrt[3]{n^2}+\frac{3}{n^6}}{(4n-1+\frac{1}{n^3})(2n+\frac{4}{n})} \end{align}$ Da komme ich jetzt schon ganz schön ins schleudern...Oben würde ich sagen n^2 -> \inf ... Der Wurzelausdruck geht gegen INF weil $\begin{align} \sqrt[3]{n^2} = n^{2/3} \end{align}$ ... 3/n^6 führe ich auf 1/n = 0 zurück...Kann man so vorgehen? Kann mir da jemand irgendwelche Tipps im Umgang mit Grenzwerten geben???
20.06.2004, 23:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Tat haben Grenzwert und Funktionswert etwas miteinander zu tun, nämlich bei stetigen Funktionen. Ist ein Grenzwert für x->x0 endlich, so heißt das, daß die Funktion, hätte sie diesen Grenzwert als Funktionswert, stetig wäre. "Grenzwert bestimmen" bedeutet also etwas oberflächlich betrachtet "Löcher stopfen".
20.06.2004, 23:35	tuxracer	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso..Ja stimmt, daran habe ich ja garnicht mehr gedacht. Falls die Funktion stetig ist gilt ja $\begin{align} \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) \end{align}$ Also ist das bestimmen eines Grenzwertes bei einer stetigen Funktion trivial, da ich nur den Funktionswert ausrechnen muss...Das wäre dann ein Problem weniger für mich
20.06.2004, 23:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und alle Terme, die sich aus x und Zahlen mittels +,-,·,: in endlich vielen Schritten aufbauen lassen (rationale Terme), definieren in ihrem gesamten Definitionsbereich stetige Funktionen. Probleme sind hier immer nur die Stellen, wo ein Nenner verschwindet. Wenn das aber der Fall ist, kann man Linearfaktoren abspalten, gegebenenfalls kürzen - und man erhält einen vereinfachten rationalen Term, wo vielleicht der Nenner nicht mehr 0 wird. Und schwuppdiwupp kann man daran den Grenzwert des ursprünglichen Terms ablesen (weil ja, wie gesagt, rationale Ausdrücke in ihrem Definitionsbereich stetige Funktionen definieren).

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