Funktional als Stieltjes-Integral

26.01.2011, 20:35	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktional als Stieltjes-Integral Hallo! Folgende Aufgabe: Gegeben ist das Funktional: $\begin{eqnarray} G:C[0,1] \to \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \mapsto \int_0^1t f(t) \mathrm dt - 2 f(\frac 1 2) + f(1) \end{eqnarray}$ Man soll dieses Funktional als Stieltjes-Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(t) \mathrm dm(t) \end{eqnarray}$ darstellen und die Norm $\begin{eqnarray} \|\|m\|\|_{\mathcal{BV}} \end{eqnarray}$ bestimmen. Wir hatten leider noch kaum Maß- und Integrationstheorie und auch das Stieltjes-Integral nur kurz besprochen. Hier sind ein paar Eigenschaften: http://de.wikipedia.org/wiki/Stieltjesintegral#Eigenschaften Vielleicht hilft mir die vorletzte Eigenschaft weiter: Dh, ich suche eine stetig diffbare Funktion $\begin{eqnarray} m(t) \end{eqnarray}$ . Jedoch kann ich mir nicht vorstellen, dass es für obiges Beispiel eine solche gibt. Weiters habe ich noch eine Version vom Darstellungssatz von Riesz gefunden, der die Darstellung im Stieltjes-Integral garantiert. Wie man diese Darstellung nun konkret berechnet, kann ich daraus nicht schließen. Kann mir jemand ein paar Tipps geben? Vielen Dank schon mal.
26.01.2011, 20:46	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktional als Stieltjes-Integral Vielleicht sollte $\begin{eqnarray} m(t) = \begin{cases} \frac 1 2 t^2 +1, & t= 1 \\ \frac 1 2 t^2 - 2, & t=\frac 1 2 \\ \frac 1 2 t^2, & \text{sonst } \end{cases} \end{eqnarray}$ so aussehen. Diese Funktion wäre nicht stetig diffbar und daher die oben genannte vorletzte Eigenschaft nicht anwendbar. Dann weiß ich nicht, wie ich das Integral berechnen soll. Ich kann daher nicht überprüfen, ob ich mit dieser Funktion das obige Funktional darstelle.
26.01.2011, 20:48	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Erstmal: Ich kenne nur Riemann-Stieltjes-Integrale, gemäss dem Wikipedia-Artikel sollten die aber im Wesentlichen gleich sein. Ich würde die Linearität im Integrator verwenden für die drei Teile: Um einzelne Werte zu bekommen ( wie f(1) ) benutzt du vermutlich am besten Treppenfunktionen. Ansonsten gebrauche $\begin{eqnarray} \int f(x) \, dg(x) = \int f(x) g'(x) \, dx \end{eqnarray}$ für den anderen Teil.
26.01.2011, 21:09	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! Das mit den einzelnen Werten verstehe ich noch nicht: Meinst du das so zB: $\begin{eqnarray} \int_{\frac 1 2}^1 f(t) \mathrm d (\frac 1 2 t^2+2) = \int_{\frac 1 2}^1 t f(t) \mathrm dt + \int_{\frac 1 2}^1 f(t) \mathrm d2 \end{eqnarray}$ Das letzte Integral ist doch: $\begin{eqnarray} \int_{\frac 1 2}^1 f(t) \mathrm d2 = \int_{\frac 1 2}^1 f(t)\cdot 0 \cdot\mathrm dt = 0 \end{eqnarray}$ Oder wie mache ich das?
26.01.2011, 22:17	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktional als Stieltjes-Integral Stimmt das so: $\begin{eqnarray} m(t) = \frac 1 2 t^2+h(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(t) = \begin{cases} 0, & t\in[0;\frac 1 2) \\ - 2, & t\in[\frac 1 2; 1) \\ 1, & t=1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Dann gilt wegen der Linearität des Integrators und da $\begin{eqnarray} h(t) \end{eqnarray}$ eine Treppenfunktion ist: $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(t) \mathrm d m(t) = \int_0^1 f(t) \mathrm d (\frac 1 2 t^2 +h(t)) = \int_0^1 f(t) t \mathrm dt + \int_0^1 f(t) \mathrm d h(t) = \int_0^1 f(t) t \mathrm dt -2f(\frac 1 2) + f(1) \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich noch die Norm bestimmen und da $\begin{eqnarray} m(t) \end{eqnarray}$ stückweise monoton ist, gilt: $\begin{eqnarray} \|\| m \|\|_{\mathcal{BV}} = \|\lim_{t\to \frac 1 2^-} m(t) -m(0)\| + \| \lim_{t\to \frac 1 2^-} m(t) - m(\frac 1 2)\| + \|m(\frac 1 2) - \lim_{t\to 1^-} m(t) \| + \| m(1) - \lim_{t\to 1^-} m(t)\| = \frac{11} 2 \end{eqnarray}$ Vorallem bei der Norm bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich das so berechnen darf. Eigentlich ist es ja das Supremum über die ganzen Partitionen. Was sagt ihr dazu?
27.01.2011, 07:42	eierkopf1	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktional als Stieltjes-Integral Hab noch einen Fehler entdeckt. Jetzt sollte es stimmen: $\begin{eqnarray} m(t) = \frac 1 2 t^2+h(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(t) = \begin{cases} 0, & t\in[0;\frac 1 2) \\ - 2, & t\in[\frac 1 2; 1) \\ -1, & t=1 \end{cases} \end{eqnarray}$ Dann gilt wegen der Linearität des Integrators und da $\begin{eqnarray} h(t) \end{eqnarray}$ eine Treppenfunktion ist: $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(t) \mathrm d m(t) = \int_0^1 f(t) \mathrm d (\frac 1 2 t^2 +h(t)) = \int_0^1 f(t) t \mathrm dt + \int_0^1 f(t) \mathrm d h(t) = \int_0^1 f(t) t \mathrm dt -2f(\frac 1 2) + f(1) \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich noch die Norm bestimmen und da $\begin{eqnarray} m(t) \end{eqnarray}$ stückweise monoton ist, gilt: $\begin{eqnarray} \|\| m \|\|_{\mathcal{BV}} = \|\lim_{t\to \frac 1 2^-} m(t) -m(0)\| + \| \lim_{t\to \frac 1 2^-} m(t) - m(\frac 1 2)\| + \|m(\frac 1 2) - \lim_{t\to 1^-} m(t) \| + \| m(1) - \lim_{t\to 1^-} m(t)\| = \frac{7} 2 \end{eqnarray}$ Was sagt ihr dazu?
Anzeige

27.01.2011, 08:16	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Stieltjes-Integral sollte stimmen. Mit der Norm kann ich dir leider nicht helfen. Weiss nicht wie diese definiert ist und konnte auch nix finden.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »