echt gebrochenrationales Integral

26.01.2011, 22:21

Mr. Spaten

echt gebrochenrationales Integral

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe hier folgendes Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{x^2-2x+10}dx \end{eqnarray*}$

und weiß, dass dabei das die Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*ln\left(x^2-2x+10\right)+\frac{1}{3}*arctan\left[\frac{1}{3}\left(x-1\right)\right]+C \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In einer Hilfe, die ich dazu habe steht, dass man über elementare Umformungen des Nenners, durch Substitution auf die Lösung kommt. Ich habe aber keinen Plan was ich da umformen soll.

Vielen Dank für eure Hilfe!

26.01.2011, 22:28

Mulder

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RE: echt gebrochenrationales Integral
Für den Nenner gilt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(2x-2+2) \end{eqnarray*}$

Die 1/2 kannst du vor das Integral ziehen. Ziehe den Bruch danach geeignet auseinander. Der eine Bruch lässt sich dann sofort lösen (logarithmische Integration), bei dem anderen guckst du dann mal weiter. Die Lösung hast du ja schon.

26.01.2011, 23:07

corvus

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RE: echt gebrochenrationales Integral

Zitat:

Original von Mulder

Für den Nenner gilt:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2}(2x-2+2) \end{eqnarray*}$

nicht erschrecken , Mr. Spaten , über diesen hübschen Verschreiber..
manchmal nennt man halt das was hier zuoberst zählt

aber : dein gewählter Titel; Mr. Spaten , " echt gebrochenrationales Integral "

ist dann schon eher irgendwie echt Gebrochenes .

................................................ smile

26.01.2011, 23:09

Mulder

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RE: echt gebrochenrationales Integral
Hier wird doch auch wirklich jede Silbe, die man schreibt, drölf mal durchleuchtet. Big Laugh

Ist ja gut, für den Zähler gilt das dann halt...

26.01.2011, 23:26

corvus

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RE: echt gebrochenrationales Integral

Zitat:

Original von Mulder
Hier wird doch auch wirklich jede Silbe, die man schreibt, drölf mal durchleuchtet. Big Laugh

wenn wir also schon dabei sind:
ein Nenner ergibt sogar schon zwei solche Prost

aber was zählt ist ja das was oben steht smile

(siehe oben: "hübschen Verschreiber" ,
nicht im Sinne von Durch-Leuchtung oder Kritik)
.

27.01.2011, 12:45

Mr. Spaten

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Also ich weiß ja nicht ob ich da jetzt im Detail bei eurer Konversation mitkommen sollte, aber ich finde es wunderbar wenn man korrekt ist! Das der Nenner der Zähler sein sollte war schon klar.
Wie dem auch sei, wenn der Titel Gebrochenes ist, was wäre denn dann ein passender?

Das mit dem Logarithmus ist jetzt ja klar. Einfach nochmal der Vollständigkeit halber möchte ich das andere Integral noch hinklatschen:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{x^2-2x+10}dx=\int\frac{1}{x^2-2x+1+9}dx=\int\frac{1}{\left[\left(\frac{x}{3}-\frac{1}{3}\right)^2+1\right]}*\frac{1}{9}dx \end{eqnarray*}$

Substituierung von

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{3}-\frac{1}{3}=u \Rightarrow dx=3*du \end{eqnarray*}$

führt auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int\frac{1}{u^2+1}du=\frac{1}{3}arctan(u)+C_{2} \end{eqnarray*}$

nach Rücksubstitution auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}arctan\left[\frac{1}{3}(x-1)\right]+C_{2} \end{eqnarray*}$

Und nochmal das gesamte Integral:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{x^2-2x+10}dx=\frac{1}{2}ln|x^2-2x+10|+\frac{1}{3}arctan\left[\frac{1}{3}(x-1)\right]+C_{1}+C_{2} \end{eqnarray*}$

Danke Leutz! Hab wieder was gelernt. Darauf trink ich einen Prost

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