Integral bed. Wahrscheinlichkeit

26.01.2011, 23:18

tohuwabou

Integral bed. Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} \int (Y^2-2YE[Y|X]+E[Y|X]^2) \,dP_{Y|X} \end{eqnarray*}$ ist wohl gleich $\begin{eqnarray*} E[Y^2|X]-E[Y|X]^2 \end{eqnarray*}$

Ich kapier nicht so recht warum.

$\begin{eqnarray*} \int (Y^2-2YE[Y|X]+E[Y|X]^2) \,dP_{Y|X}=\int Y^2 \,dP_{Y|X}-2\int YE[Y|X]\,dP_{Y|X}+ \int E[Y|X]^2\,dP_{Y|X} \end{eqnarray*}$

Das erste Integral entspricht dem E[Y^2|X] , das ist mir klar. Aber was mach ich mit den anderen beiden?

26.01.2011, 23:28

tohuwabou

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RE: Integral bed. Wahrscheinlichkeit
Darf man das E[Y|X] vor das Integral ziehen? Wenn ja, warum? Das ist ja nicht konstant.

27.01.2011, 00:13

René Gruber

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Ich verstehe ehrlich gesagt deine Symbolik nicht: Was ist $\begin{eqnarray*} P_{Y|X} \end{eqnarray*}$ für ein Maß, insbesondere auf welchem Messraum? verwirrt

Das frage ich deshalb, weil in einem gewöhnlichen W-Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak F, P) \end{eqnarray*}$ das W-Maß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ natürlich auf dem Messraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak F) \end{eqnarray*}$ wirkt, während etwa das Bildmaß $\begin{eqnarray*} P_Y \end{eqnarray*}$ einer reellen Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R},\mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ wirkt (also mit Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ ). Bei $\begin{eqnarray*} P_{Y|X} \end{eqnarray*}$ bin ich nun erstmal ratlos.

27.01.2011, 00:33

tohuwabou

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Hm, genau darüber wollte ich mich morgen erkundigen, weil ich das nicht im Skript finden kann. Ich hab das aus einer Kopie.

Es geht darum zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} Var[Y|X]=E[Y^2|X]-E[Y|X]^2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Und nun steht hier : $\begin{eqnarray*} X,Y \in \mathfrak L_2(\Omega,\mathfrak A, P) \end{eqnarray*}$ und so geht es los:

$\begin{eqnarray*} Var[Y|X]= \int (Y-E[Y|X])^2 \,dP_{Y|X}(y) \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 01:03

tohuwabou

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Wahrscheinlich soll das $\begin{eqnarray*} dP_{Y,X} \end{eqnarray*}$ heißen, vermut ich jetzt mal.

Normal berechnet man Varianz doch so :

$\begin{eqnarray*} Var[X]=\int (X-EX)^2\,dF_x = \int(x-\mu)^2f_x \,dx \end{eqnarray*}$

und dann die bed. Varianz :

$\begin{eqnarray*} Var[Y|X] = \int(Y-E[Y|X])^2dF_{y,x}=\int(y-g(x))^2f_{XY} dy \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} g(x)=E[Y|X=x] \end{eqnarray*}$ , das würde dann ja auch erklären warum man das $\begin{eqnarray*} E[Y|X] \end{eqnarray*}$ vor das Integral ziehen kann , wenn man nach y integriert,oder ? verwirrt

27.01.2011, 15:55

tohuwabou

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Hi nochmal ,

Mit $\begin{eqnarray*} P_{Y|X} \end{eqnarray*}$ ist das bedingte Wahrscheinlichkeitsmaß gemeint.

$\begin{eqnarray*} \int Y^2 \,dP_{Y|X} = E[Y^2|X] \end{eqnarray*}$

aber wieso ist

$\begin{eqnarray*} \int E[Y^2|X] \,dP_{Y|X} = E[Y^2|X] \end{eqnarray*}$

Versteht das so jemand?

27.01.2011, 16:43

René Gruber

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Zitat:

Original von tohuwabou
Mit $\begin{eqnarray*} P_{Y|X} \end{eqnarray*}$ ist das bedingte Wahrscheinlichkeitsmaß gemeint.

Vielleicht ist es zu lange her, vielleicht bin ich zu blöd, diese Bezeichnungen zu verstehen. Ich schreib mal auf, was mir noch in Erinnerung ist - entschuldige, wenn ich weit aushole, ich versuche mich so kurz wie nötig zu fassen:

Die bedingte Erwartung $\begin{eqnarray*} E(Z \bigm| X) \end{eqnarray*}$ ist (gemäß Radon-Nikodym) die Dichte des Maßes $\begin{eqnarray*} \mu(A) = E(1_AZ) \end{eqnarray*}$ bezüglich des zugrunde Wahrscheinlichkeitsmaßes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf der Teil-Sigmaalgebra $\begin{eqnarray*} \sigma(X)\subseteq \mathfrak F \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} E(Z \bigm| X) \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma(X) \end{eqnarray*}$ -messbare Zufallsgröße, d.h. im allgemeinen keine Konstante wie $\begin{eqnarray*} E(Z) \end{eqnarray*}$ .

Nächster Schritt ist, dass man für ein beliebiges Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(A \bigm| X) := E(1_A \bigm| X) \end{eqnarray*}$ definiert. Trotz des trügerischen Namens ist das ebenfalls keine einfache Zahl, sondern wieder eine Zufallsgröße! Und in dem Zusammenhang muss ich dann fragen: Was soll dann $\begin{eqnarray*} P(Y \bigm| X) \end{eqnarray*}$ oder von mir aus $\begin{eqnarray*} P_{Y | X} \end{eqnarray*}$ darstellen? Nach meinem Dafürhalten müsste das dann einer Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;\Omega\times \mathfrak{B} \to [0,1] \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} g(\omega, B) = P(Y\in B \bigm| X)(\omega) = E(1_B(Y) \bigm| X)(\omega) \end{eqnarray*}$

entsprechen. Ein (Wahrscheinlichkeits-)Maß ist das nur bzgl. der zweiten Variable, und zwar für jedes feste (erste) Argument $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ - integrierst du also über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ? Wo taucht dieses Argument im Integranden auf?

Wie gesagt, ich bin verwirrt - vielleicht hast du ja mal einen Link zur Hand, wo die von dir verwendete Symbolik im Zusammenhang erläutert wird, vielleicht sehe ich dann Licht am Ende des Tunnels. Momentan ist es bei mir jedenfalls ziemlich duster.

27.01.2011, 18:00

tohuwabou

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Leider kein Link, ich danke eher für dein ausholen als das du dich entschuldigen müsstest Augenzwinkern

Ich hab es jetzt aber gefunden . Das Teil heißt wohl reguläre bedingte Verteilung bzw Markov- Kern.

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak A,P) \end{eqnarray*}$ ein W'raum , $\begin{eqnarray*} (\Omega',\mathfrak A') \end{eqnarray*}$ messbarer Raum , $\begin{eqnarray*} \mathfrak C \end{eqnarray*}$ eine Teil - Sigma- Algebra von $\begin{eqnarray*} \mathfrak A \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} X: (\Omega,\mathfrak A,P) \rightarrow (\Omega',\mathfrak A',P_X) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable.

Jeder Markov-Kern $\begin{eqnarray*} P_{X|\mathfrak C} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak C) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (\Omega',\mathfrak A') : \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall A' \in \mathfrak A' : \omega \rightarrow P_{X|\mathfrak C}(\omega,A') \end{eqnarray*}$ eine Version von $\begin{eqnarray*} P(X^{-1}(A')|\mathfrak C) \end{eqnarray*}$ ist heißt (reguläre) bedingte Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (unter $\begin{eqnarray*} \mathfrak C \end{eqnarray*}$ )

Wird die Sigma -Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak C \end{eqnarray*}$ von einer Zufallsvariablen Y erzeugt ,so schreibt man auch $\begin{eqnarray*} P_{X|Y} \end{eqnarray*}$ an Stelle von $\begin{eqnarray*} P_{X|\mathfrak C} \end{eqnarray*}$

Mir hilft das jetzt aber immer noch nicht beim Auswerten der Integrale. smile

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