Orthonormalisierungsverfahren - Rechenfehler irgendwo

26.01.2011, 23:56

Ryu

Orthonormalisierungsverfahren - Rechenfehler irgendwo

Meine Frage:
Hallo zur späten Stunde!

Und zwar beschäftige ich mich seit einigen Stunden mit einer Aufgabe... Ich weiß, wie das Verfahren geht und ich verstehe es auch. Nur habe ich die Aufgabe nun 3x gerechnet und habe immer irgendwo einen anderen Rechenfehler.
Ich hoffe, dass ihr vielleicht den Fehler findet?

$\begin{eqnarray*} B_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} B_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} B_{3}= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Schritt:
$\begin{eqnarray*} Q_{1}=\frac{1}{|B_{1}|}B_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{11}=|B_{1}|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

2. Schritt:
$\begin{eqnarray*} v_1=<Q_{1}, B_{2}>*Q_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}*\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q_{2}=\frac{1}{|B_{2}-v_{1}|}B_{2}-v_{1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{12}=<Q_{1}, B_{2}>=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{22}=|B_{2}-v_{1}|=\sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Zum Verständnis zu Schritt 2:
$\begin{eqnarray*} <Q_{1}, B_{2}>=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=((\frac{1}{\sqrt{2}}*1)*0)+((\frac{1}{\sqrt{2}}*0)*1+((\frac{1}{\sqrt{2}}*1)*1)=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_{2}-v_{1}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |B_{2}-v_{1}|=\sqrt{-\frac{1}{2}^2+1^2+\frac{1}{2}^2}=\sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

WÄHREND des abtippens hier, ist mir sogar noch ein Fehler aufgefallen, weshalb der 3. Schritt nun etwas schwieriger wird...

3. Schritt
$\begin{eqnarray*} v_2=<Q_{1}, B_{3}>*Q_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}*\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{5}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_3=<Q_{2}, B_{3}>*Q_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}*\sqrt{\frac{3}{2}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}=??? \end{eqnarray*}$

Nun stocke ich hier. Ich weiß nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} <Q_{2}, B_{3}> \end{eqnarray*}$ ausrechnen soll und dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Ich weiß, für den weiteren Verlauf muss ich $\begin{eqnarray*} v_{2} + v_{3} = v_{4} \end{eqnarray*}$ zusammenrechnen und dann ganz einfach $\begin{eqnarray*} Q_{3}=\frac{1}{|B_{3}-v_{4}|}B_{3}-v_{4} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.
Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} r_{12}, r_{23}, r_{33} \end{eqnarray*}$ , habe dann die Matrix $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Und dann erhalte ich noch eine Matrix $\begin{eqnarray*} Q=(Q_{1}Q_{2}Q_{3}) \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich $\begin{eqnarray*} Q*R \end{eqnarray*}$ rechne, erhalte ich B.

Meine Ideen:

Ich hoffe, das ist soweit richtig und freue mich auf Hilfe!

27.01.2011, 08:05

klarsoweit

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RE: Orthonormalisierungsverfahren - Rechenfehler irgendwo

Zitat:

Original von Ryu
$\begin{eqnarray*} Q_{2}=\frac{1}{|B_{2}-v_{1}|}B_{2}-v_{1}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch an der Hochschule darf man Klammern setzen: Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} Q_2 = \frac{1}{|B_2 - v_1|} (B_2 - v_1) = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Ryu
Nun stocke ich hier. Ich weiß nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} <Q_{2}, B_{3}> \end{eqnarray*}$ ausrechnen soll und dann mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Ohne daß ich mich jetzt intensiver mit dem Verfahren beschäftige, aber du wirst doch wohl das Skalaprodukt von 2 Vektoren bilden können? Im 2. Schritt hast du es doch auch gekonnt.

27.01.2011, 09:07

Ryu

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Danke für die Antwort!
Klammern... Merk ich mir =D
Ich habs zwar vorhin den 3. Schritt weiter gerechnet, bekomme aber absurde Zahlen raus.

$\begin{eqnarray*} v_3=<Q_{2}, B_{3}>*Q_{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}*\sqrt{\frac{3}{2}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}=-\frac{21}{4}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{13}=<Q_{1}, B_{3}>=\frac{5}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r_{23}=4,2876607... \end{eqnarray*}$
Da glaube ich nicht, dass bei $\begin{eqnarray*} r_{23}=4,2876607... \end{eqnarray*}$ so eine Zahl rauskommt, die sich nicht als Bruch darstellen lässt. Auf jedenfall hab ich dann so weitergerechnet:

$\begin{eqnarray*} v_{2} + v_{3} = v_{4} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{8} \\ \frac{21}{4} \\ \frac{41}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q_{3}=\frac{1}{|B_{2}-v_{4}|}(B_{2}-v_{4})=\frac{32}{419}\begin{pmatrix} \frac{9}{8} \\ -\frac{13}{4} \\ -\frac{9}{8} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r_{33}=|B_{2}-v_{4}|=\frac{419}{32} \end{eqnarray*}$

Zum Schluss:
$\begin{eqnarray*} Q=(Q_{1}Q_{2}Q_{3})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\frac{32}{419}\begin{pmatrix} \frac{9}{8} \\ -\frac{13}{4} \\ -\frac{9}{8} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} & \frac{36}{419} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}} & -\frac{104}{419} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{2\sqrt{\frac{3}{2}}} & -\frac{36}{419} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R=\begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{5}{\sqrt{2}} \\ 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 4,287 \\ 0 & 0 & \frac{419}{32} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Probe:
$\begin{eqnarray*} Q*R=B \end{eqnarray*}$
Aber die Probe habe ich mir mal gespart, bei ein paar Testrechnungen (z.b. das ausrechnen von $\begin{eqnarray*} b_{13}=1 \end{eqnarray*}$ , kam bei mir... -0,3577... raus.

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