isomorpher Teilring

27.01.2011, 09:02	clemensum	Auf diesen Beitrag antworten »
isomorpher Teilring Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R' ein Oberring von R. Wir nennen ein Element $\begin{eqnarray} x\in R' \end{eqnarray}$ Unbestimmte über R, falls 1) $\begin{eqnarray} rx= xr \forall r\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1x=x1=x \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n=0 \Leftrightarrow a_i=0, 0\le i \le n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i\in R. \end{eqnarray}$ Man zeige, dass $\begin{eqnarray} \mathcal{F} = \{f:\mathbb{N} \to R \| f(n) \neq 0 \end{eqnarray}$ für höchstens abzählbar viele n} für jeden Ring R einen zu R isomorphen Teilring enthält, den wir mit R identifizieren können. Welches Element in $\begin{eqnarray} \mathcal {F} \end{eqnarray}$ muss man als x wählen, sodass R'=F die obigen Bedingungen erfüllt? Wie beweits man außerdem die Isomorphie für alle Ringe R auf einmal? Ansatzidee: Ich betrachte die Menge $\begin{eqnarray} M_R:= \{\mathbb{N} \to R\| f(1) = r\in R, f(n)= 0 \end{eqnarray}$ sonst } Nur, Welches Element in $\begin{eqnarray} \mathcal {F} \end{eqnarray}$ muss ich als x wählen, sodass R'=F die obigen Bedingungen erfüllt?

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