Integration

27.01.2011, 11:34

Cousiro

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Integration

Meine Frage:
Berechne die folgenden Integrale:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2+x}{x^2-4} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{e^{x}+1}{e^{2x}+1 } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So, ehrlich gesagt ist mir ziemlich unklar wie ich die Aufgabe lösen kann. Partielle Integration geht ja schonmal nicht, da der Term sich dadurch nicht vereinfachen lässt und Substitution ist auch nicht möglich, da es kein g`(x) in der Aufgabe gibt. Ich gehe also mal davon aus, dass ich die Terme irgendwie vereinfachen muss bevor ich eine der Methoden anwende... Bei der ersten Aufgabe habe ich das mit Polynomdivision versucht, was aber auch nicht geholfen hat, da das ergibt: $\begin{eqnarray*} \int \! -1+\frac{x+4}{x^2-4 } \, dx \end{eqnarray*}$ Ich wäre für Anregungen sehr dankbar ;-)

27.01.2011, 11:41

Mulder

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RE: Integration
Jetzt Partialbruchzerlegung.

Edit: Aber schau nochmal auf die Vorzeichen...

Und baphomet hat sich jetzt bei der Polynomdivision im Nenner verschrieben.

27.01.2011, 11:41

baphomet

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RE: Integration
Beim ersten mit Polynomdivision hattest du wahrscheinlich Partialbruchzerlegung vor,
gar keine schlechte Idee, aber die sieht nicht korrekt aus.

Ergebnis sollte sein:

$\begin{eqnarray*} \int 1 + \frac{(x + 4)}{x^2 - 4}dx=\int 1+\frac{(x+4)}{(x+2)(x-2)}dx \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es doch offensichtlich, oder?

Bei der zweiten würde ich Substitution vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$

Das kannst du dann so lösen wie bei der ersten Aufgabe.

27.01.2011, 15:35

Cousiro

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RE: Integration
Ok, also ich habe jetzt:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2+x}{x^2-4} \, dx=\int \! 1+\frac{x+4}{x^2-4} \, dx = 1+0.5\int \! \frac{2x}{x^2-4} \, dx +4\int \! \frac{1}{(x+2)*(x-2)} \, dx <br /> =1+0.5ln|x^2-4|+4\int \! \frac{a_{1} }{x+2} +\frac{a_{2} }{x-2} \, dx <br /> =1+0.5ln|x^2-4|-ln(x+2)+ln(x-2) \end{eqnarray*}$
Stimmt das so?

27.01.2011, 16:06

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro

$\begin{eqnarray*} \int \! 1+\frac{x+4}{x^2-4} \, dx = <br /> <br /> =1+0.5ln|x^2-4|-ln(x+2)+ln(x-2) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

nein

smile

1 integriert gibt verwirrt

verwirrt

ausserdem:

- die Summe im Integranden wird multipliziert mit dx ->
da soll es Klammern geben, um das richtig aufzuschreiben..

- wenn du bei ln richtigerweise Betragszeichen verwendest ..
warum dann nicht konsequent ?

.

27.01.2011, 16:08

Cousiro

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RE: Integration
Bei der zweiten Aufgabe komme ich bis hier(durch die empfohlene Substitution):
$\begin{eqnarray*} 0.5ln|u^2+1|+\int \! \frac{1}{(u+i)*(u-i)} \, du \end{eqnarray*}$

Irgendwie komme ich danach aber mit Partialbruchzerlegung nicht weiter... Ich erhalte einfach immer wieder: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{(u+i)*(u-i)} \, du \end{eqnarray*}$

EDIT: Also wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe ist nur falsch, dass 1 integriert natürlich x ist und nicht 1, sry dafür, und sonst halt nur Formsachen... Wie Klammern und die Betragsstriche?

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27.01.2011, 16:26

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro

EDIT:..
und sonst halt nur Formsachen...
Wie Klammern und die Betragsstriche?

Teufel

es ist keine Formsache

- ob... a + b*c .... oder.. (a + b)*c

- ob ln|x| oder ln(x)

dasteht.

nebenbei:
dein Versuch zur zweiten Aufgabe ist grandios gescheitert..

schreib doch erst mal auf, wie das neue Integral denn aussieht,
nachdem du mit u=e^x substituiert hast ..
.

27.01.2011, 16:34

Cousiro

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RE: Integration
Ja ok das mit den "Formsachen" sollte das ja jetzt auch nicht abwerten. Mir ist schon klar, dass das ganz andere Ergebnisse ergibt... smile

smile

Nach der Substitution habe ich das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{u+1}{u^2+1} ) \, du \end{eqnarray*}$
Falls das falsch ist habe ich da wohl einiges nicht bzw. falsch verstanden...
Wobei es nach deiner Aussage ja offensichtlich falsch ist^^.

27.01.2011, 16:42

corvus

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RE: Integration
.
ja, das ist falsch

hast du noch nie davon gehört, dass bei solchen Substitutionen
auch das Differential auf die neue Variable umgerechnet werden muss?
.. hier im Beispiel: welcher Zusammenhang existiert zwischen
dem Differential dx und dem neuen Differential du verwirrt

verwirrt

.

27.01.2011, 17:08

Cousiro

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RE: Integration
Nein ehrlich gesagt nicht, oder zumindest erinnere ich mich nicht daran... Es ist ja auch schon etwas her, dass ich so etwas das letzte mal gemacht habe.

Zusammenhang...da ja gilt: $\begin{eqnarray*} u=e^x \end{eqnarray*}$ , wäre dann $\begin{eqnarray*} x=ln(u) \end{eqnarray*}$ , bzw. das neue Integral $\begin{eqnarray*} du \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} d*e^x \end{eqnarray*}$ . Aber was heißt das?

27.01.2011, 17:17

corvus

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RE: Integration
.
u=e^x
erste Ableitung berechnen:

u' = du/dx = e^x

also : ersetze
dx = (1/e^x) *du = (1/u) *du

wie sieht dann also dein Integral nach der Substitution aus ?
.

27.01.2011, 17:26

Cousiro

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RE: Integration
$\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{u+1}{u^2+1}*\frac{1}{u}) \, du \end{eqnarray*}$ ?
Bzw.: $\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{u+1}{u^3+u}) \, du=\int \! \frac{u+1}{u*(u+i)*(u-i)} \, dx \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 17:38

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro
$\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{u+1}{u^2+1}*\frac{1}{u}) \, du \end{eqnarray*}$ ?
Bzw.: $\begin{eqnarray*} \int \! (\frac{u+1}{u^3+u}) \, du=\int \! \frac{u+1}{u*(u+i)*(u-i)} \, dx \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

vergiss den Unsinn mit dem i und so:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u+1}{u\cdot (u^2+1)} \, du =<br /> <br /> \int \! \left[\frac{1}{u}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1} \right] \, \cdot du<br /> \end{eqnarray*}$

und jetzt hast du einfach nur noch drei Grundintegrale ..
das wirst du hoffentlich alleine schaffen (notfalls halt nachschlagen)

ok?

27.01.2011, 18:02

Cousiro

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RE: Integration
Wieso denn jetzt $\begin{eqnarray*} \int \! \left[\frac{1}{u}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1} \right] \, \cdot du<br /> \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre dann ja:
$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u}-\frac{u+1}{u^2+1} \, dx \neq \int \! \frac{1}{u}*\frac{u+1}{u^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 19:12

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro
Wieso denn jetzt $\begin{eqnarray*} \int \! \left[\frac{1}{u}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1} \right] \, \cdot du<br /> \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre dann ja:
unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{u}-\frac{u+1}{u^2+1} \, dx \neq \int \! \frac{1}{u}*\frac{u+1}{u^2+1} \, dx \end{eqnarray*}$

du tummelst dich hier im Hochschulbereich ..
und das ist ja nun elementarstes Bruchrechnen :
es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u}*\frac{u+1}{u^2+1}= \frac{1}{u}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2u}{u^2+1} + \frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$

vielleicht gelingt es dir ja noch, den Vorzeichenfehler, den du oben
(siehe bei unglücklich

unglücklich

) eingebaut hast, zu finden?
.

27.01.2011, 19:33

Cousiro

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RE: Integration
Ja ich sehe meinen Fehler. Du hast Recht. Ich verstehe den Schritt zwar immer noch nicht, aber er ist offensichtlich richtig. Vielleicht stehe ich auch einfach nur extrem auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

. Naja was solls. Danke für deine Hilfe und deine Geduld Wink

Wink

.

27.01.2011, 19:55

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro

. Ich verstehe den Schritt zwar immer noch nicht, aber er ist offensichtlich richtig. smile

smile

verwirrt

was verstehst du denn nicht?

und:
hast du denn inzwischen auch die drei Stammfunktionen gefunden?
.

27.01.2011, 20:12

Cousiro

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RE: Integration
Es ist vermutlich lächerlich, aber ich krieg den Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u}*\frac{u+1}{u^2+1}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$ einfach nicht hin.

Die Stamm funktionen habe ich aber jetzt:

$\begin{eqnarray*} ln|u|-\frac{1}{2}ln|u^2+1|+arctan(x) \end{eqnarray*}$

Muss ich zwar noch zurückformen, aber das sollte ich hinbekommen Hammer

Hammer

27.01.2011, 20:18

corvus

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RE: Integration

Zitat:

Original von Cousiro
Es ist vermutlich lächerlich, aber ich krieg den Schritt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{u}*\frac{u+1}{u^2+1}=\frac{1}{u}-\frac{u}{u^2+1}+\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$
einfach nicht hin.

versuche im ersten Schritt eine Partialbruchzerlegung zu finden:
Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \frac{u+1}{u\cdot (u^2+1)}=\frac{a}{u}+\frac{bu+c}{u^2+1} \end{eqnarray*}$
.

27.01.2011, 20:30

Cousiro

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RE: Integration
Alles klar, danke, ich habs. Ich hab einfach nach einer zu simplen Lösung gesucht.

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