Wurzelziehen mit dem Newtonverfahren

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misterl Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelziehen mit dem Newtonverfahren
Hey, ich hab hier eine ganz Aufgabe zum Wurzelziehen mit dem Newton-Verfahren: "Zeigen Sie, dass das Newtonverfahren für die Funktion (mit x>0, wo n>1 und a>0...) global gegen konvergiert.

Ich glaube ich habe die Aufgabe gelöst, bin mir aber bei der Konvergenz-Sache noch total unsicher, ob das hingemurkst ist oder doch mathematisch korrekt. Hier meine Lösung:

Das Newton-Verfahren kann man laut Aufgabe ja voraussetzen, d.h. man hat

Die Funktion und ihre Ableitung darin einsetzen liefert und das lässt sich dann umformen zu , stimmt das soweit?

Jetzt kommt aber die etwas heikle Stelle. Man sieht ja, dass die rechte Seite eigentlich schon das Ziel ist, wenn die linke Seite Null ist. Jetzt hab ich mir gedacht, soll man ja zeigen, dass es dagegen konvergiert, also ein Grenzübergang gemacht werden muss. Wenn man k gegen unendlich laufen lässt müsste doch verschwinden, oder?

Das heißt: Daraus erhält man nun bzw. es ist ja

Da das Ziel in der Aufgabe gegeben war klingt es ganz plausibel, aber kann man es mathematisch so machen? Ich war mal etwas durcheinandergekommen mit den k's und n's...

gruß smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzelziehen mit dem Newtonverfahren
Die Lösung x* ist ja klar. Man hat die Funktion ja extra so gewählt. Es geht darum zu prüfen, ob das Newton Verfahren konvergiert. Wann gilt das denn allgemein? Und warum wird hier extra "global" erwähnt?
 
 
Fingerrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Man unterscheidet zwischen global und lokal konvergent. Lokal bedeutet, dass x0 (also der Startwert) in einer bestimmten Umgebung U liegen muss, damit es konvergiert. Bei global kann man umgangssprachlich x0 beliebig wählen.
Ich hoffe das stimmt so smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich dich gefragt? verwirrt
Fingerrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, tut mir leid. Ich habe den Beitrag jetzt erst richtig verstanden.
misterl Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
okay, das mit dem "global" hab ich wohl elegant überlesen. Um den Konvergenzbegriff reinzukriegen muss man ja zeigen, dass die Folgenglieder in einer Epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen, also etwa so (ab einem gewissen k):




Ich weiß, dass ist, oder eben . Muss ich das dann einsetzen und ausrechnen? Das führt mich irgendwie nur noch tiefer in den Nebel...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist hier ja nicht so, dass man einfach nur eine Folge hat. Nein, man kennt das Verfahren, durch das sie erzeugt wurde. Dazu gibt es eine Konvergenztheorie. Die soll angewandt werden. Damit er erhält man die lokale Konvergenz. Ist im Grunde dann nur ein Satz.

Dann gilt es zu prüfen, warum hier auch globale Konvergenz vorliegt. Da muss man ein wenig mehr investieren.
misterl Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für die Hilfe. Der Link führt ja ziemlich genau zu dem Problem. Werds mir morgen mal genauer anschauen, denn so ganz nach "Einzeiler" sieht das ja nicht aus. Mit dem global komm ich auch net weiter. Wenn man sich das anschaut hat man ja z.b. x² oder x^(15) und keine weiteren Potenzen. Das heißt für genau solche Funktionen konvergiert das Verfahren für sämtliche Startwerte. Das ist mir jetzt anschaulich klar. Hoffentlich krieg ich das noch allein hin.

gruß
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Der Link sagt alles. Deswegen habe ich ihn nicht gleich gepostet. Augenzwinkern
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