Überprüfung ob Skalarprodukt

27.01.2011, 13:24	Bachi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung ob Skalarprodukt Hallo Leute! Ich sitze gerade an Beispielen, bei denen ich überprüfen soll, ob es sich um ein Skalarprodukt handelt. Die Axiome sind mir dabei eigentlich bekannt und lauten lt. meiner Mitschrift: $\begin{eqnarray} \left(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}\|y\right) = a_{1}\left(x_{1}\|y\right) +a_{2}\left(x_{2}\|y\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(x\|y\right) =\left(y\|x\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(x\|x\right) \geq 0 \end{eqnarray}$ Nun ein konkretes Beispiel: $\begin{eqnarray} (v\|w)=v_1w_1+2v_2w_2 - v_2w_3-v_3w_2+2v_3w_3 \end{eqnarray}$ Bei der positiven Definitheit habe ich keine Probleme und bereits überprüft Probleme macht mir also nur die Linearität und die Symmetrie, denn nach meiner Überlegung erscheint mir das (zu) trivial: $\begin{eqnarray} (a_1v_1)w_1+2(a_2v_2)w_2 - (a_2v_2)w_3-(a_3v_3)w_2+2(a_3v_3)w_3 = a_1(v_1w_1)+a_2(2v_2w_2) - a_2(v_2w_3)-a_3(v_3w_2)+a_3(2v_3w_3) \end{eqnarray}$ Bei der Symmetrie würde ich einfach jeweils die vs und ws vertauschen... Könnte mir also bitte jemand erklären, was ich bei der Linearitäts- und Symmetrieüberprüfung machen soll, oder ist es tatsächlich so offensichtlich trivial, das man es quasi gar nicht durchrechnen muss? Ich komme zu dem Schluss: Es ist ein Skalarprodukt, da die positive Definitheit gegeben ist und die beiden anderen Axiome trivial erfüllt sind... Ich danke im Vorraus! LG
29.01.2011, 12:25	Bachi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich etwas falsch gemacht, oder fehlen Informationen, weil niemand eine Antwort parat hat? LG
29.01.2011, 12:38	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, die symmetrie ist wirklich trivial - vielleicht wird hier eine begründung verlangt, wieso ist das ganze trivial ist, aber das ist auch kein problem, da die entsprechenden koordinaten der vektoren aus einem körper stammen, und in diesem bestimmte gesetze gelten. weiterhin ist ein skalarprodukt insbesondere eine bilinearform, also bilinear in beiden komponenten. so wie du das 1. axiom formuliert hast, wäre es bloß linear in der ersten komponente, nicht jedoch in der zweiten. edit: siehe dr. morrison's post . es fehlt jedoch noch die linearität in der zweiten komponente, allerdings kannst du dir hier einiges an (schreib)arbeit sparen, wenn du auf eine bestimmte (bereits vorher bewiesene) eigenschaft zurückgreifst. gruß, hnky
29.01.2011, 12:43	dr.morrison	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, soweit alles richtig. Die Symmetrie sieht man ganz leicht, da die Formel ja vollkommen symmetrisch von den beiden Vektorkoordianten abhängt - vertausche, wie von dir bereits vorgeschlagen hierzu einfach die Koordinaten, d.h. setze v_1 anstelle von w_1, w_1 anstelle von v_1, etc. Hinschreiben, fertig. Einen Fehler hast du schon gemacht, da du einfach das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \left(av,w\right) \end{eqnarray}$ betrachten musst, also nix mit $\begin{eqnarray} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray}$ , übrigens sei a eine reelle Zahl. Wenn Du bereits die Symmetrie hast, kannst du dir die Untersuchung für das 2. Argument sparen. Und nun setzt du: $\begin{eqnarray} \left(\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \right) <br /> \end{eqnarray}$ und zeigst über die Definition deines "Skalarprodukts", dass $\begin{eqnarray} \left(v,w\right) +\left(x,w\right) \end{eqnarray}$ herauskommt. Wiederum mit Symmetrie folgt daraus bereits, dass die Linearität auch für das 2.Argument gilt. Beachte, dass für die im Skalarprodukt geforderte Bilinearität es nicht ausreicht, die Struktur für Vielfache von Vektoren zu untersuchen, sondern auch für Summen! Hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte! mfg, dr.morrison
29.01.2011, 19:21	Bachi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! Die Linearität im zweiten Argument, habe ich über die Symmetrie abgedeckt - das war mir soweit klar. Deine Variante des Linearitätsaxioms habe ich eindeutig besser verstanden: $\begin{eqnarray} (v+x\|w)=(v\|w)+(x\|w) \end{eqnarray}$ LS: $\begin{eqnarray} <br /> (v_1+x_1)w_1+2(v_2+x_2)w_2-(v_2+x_2)w_3-(v_3+x_3)w_2+2(v_3+x_3)w_3 \end{eqnarray}$ ausmultiplizieren $\begin{eqnarray} <br /> v_1w_1+x_1w_1+2v_2w_2+2x_2w_2-v_2w_3-x_2w_3-v_3w_2-x_3w_2+2v_3w_3+2x_3w_3 \end{eqnarray}$ RS: $\begin{eqnarray} <br /> v_1w_1+2v_2w_2-v_2w_3-v_3w_2+2v_3w_3+x_1w_1+2x_2w_2-x_2w_3-x_3w_2+2x_3w_3 \end{eqnarray}$ LS = RS --> Linear bzgl. Addition Muss man noch zusätzlich auch die Linearität bzgl. der Multiplikation auch machen? Aber verstanden habe ich es nun - danke für eure Hilfe! Der Vollständigkeit halber meine Symmetriebetrachtung: $\begin{eqnarray} (v\|w)=(w\|v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1w_1+2v_2w_2 - v_2w_3-v_3w_2+2v_3w_3=w_1v_1+2w_2v_2 - w_2v_3-w_3v_2+2w_3v_3 \end{eqnarray}$ Wann wäre es bzgl. der Symmetrie nun kein Skalarprodukt mehr? Könntet ihr mir bitte dazu ein kurzen Beispiel posten? $\begin{eqnarray} v_1w_1+2w_2 - v_2w_3-v_3w_2+2v_3w_3 \neq w_1v_1+2v_2 - w_2v_3-w_3v_2+2w_3v_3 \Rightarrow \end{eqnarray}$ kein Skalarprodukt Wäre dies z.B. eine eine einfache Abänderung, welche nun die Symmetrie (wegen zweiten Term) verletzen würde? LG

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »