Spur einer Matrix

27.01.2011, 13:48

Freddy76

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Spur einer Matrix

Meine Frage:
Hi ich hab bisschen schwierigkeiten beim lösen dieser Aufgabe.

Die Spur tr(A) einer quadratischn Matirx A aus M(n,K),K ein Körper,ist definiert als die Summer der Diagonalelemente:

tr(A):= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n A_{ii} \end{eqnarray*}$

Finden sie eine Menge von drei linear unabhängigen Matrizen $\begin{eqnarray*} A_{1}, A_{2} ,A_{3}\in M(2,Q) \end{eqnarray*}$ , die im Kern von tr:M(2,Q) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Q liegen

Meine Ideen:
ich wüsste jetzt nicht wie ich vorgehen soll.
ich weiß wie die definition von linear unabhängig ist.
Im kern von der abbildung liegen doch nur die Nullelemente?

27.01.2011, 13:59

tigerbine

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RE: Spur einer Matrix
Wo befinden wir uns? Im VR der rationalen 2x2 Matrizen.

Welche Abbildung betrachten wir? Die Spurabbildung.

Was für eine Abbildung ist das? Eine Linearform. Also eine lineare Abbildung in den Skalarkörper, hier Q.

Was ist der Kern einer lin. Abbildung? Ein UVR des VRs der 2x2 Matrizen.

Welche Matrizen, außer der Nullmatrix fallen dir denn so ein, die im Kern der Spurabbildung liegen, deren Spur also 0 ist?

27.01.2011, 13:59

Iorek

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Im Kern dieser Abbildung liegen alle Matrizen, deren Spur 0 ist, da sollten sich doch 3 linear unabhängige finden lassen. Nimm dir mal ein paar einfach aufgebaute Matrizen und überleg dir, dann die Spur überhaupt 0 sein kann.

27.01.2011, 14:03

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

könnte diese eine lösung sein?

27.01.2011, 14:04

tigerbine

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Zumindest ist das eine Matrix mit der Spur Null. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2011, 14:06

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wären diese matrizen auch 2 lösungen?

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27.01.2011, 14:08

Iorek

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Die zwei Matrizen liegen im Kern der Abbildung, aber sind die wirklich linear unabhängig?

27.01.2011, 14:13

Freddy76

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wie prüfe ich dass diese Matrizen linear unabhängig sind?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{} x_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$ =0

wobei $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ =0

$\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ =(2,-2) sind

ist das der richtige ansatz?

27.01.2011, 14:17

Iorek

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Du hast doch oben gesagt, dass du die Definition für lineare Unabhängigkeit kennst, das was du aufgeschrieben hast ist aber falsch unglücklich

unglücklich

Deine Matrizen sind in diesem Fall Vektoren eines Vektorraums, wie sieht der Nullvektor dieses Vektorraums aus, wie lautet die richtige Definition von linearer Unabhängigkeit?

27.01.2011, 14:29

Freddy76

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Vektoren aus einem K-Vektorraum heißen linear unabhängig, fall eine Linearkombination $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{} x_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{i}\in K \end{eqnarray*}$ nur dann der Nullvektor ist, wenn $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ =0 ist.

Der Nullvektor ist 0

27.01.2011, 14:31

Iorek

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Das häufig verwendete Symbol für den Nullvektor ist 0, aber wie sieht der Nullvektor konkret für diesen Vektorraum aus?

Edit: Ich seh jetzt gerade zum ersten Mal deinen ersten Beitrag in diesem Thread. geschockt

geschockt

Warum ist der mir davor nicht aufgefallen?

27.01.2011, 14:32

tigerbine

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RE: Spur einer Matrix

Zitat:

Original von tigerbine
Wo befinden wir uns? Im VR der rationalen 2x2 Matrizen.

Welche Abbildung betrachten wir? Die Spurabbildung.

Was für eine Abbildung ist das? Eine Linearform. Also eine lineare Abbildung in den Skalarkörper, hier Q.

Was ist der Kern einer lin. Abbildung? Ein UVR des VRs der 2x2 Matrizen.

Welche Matrizen, außer der Nullmatrix fallen dir denn so ein, die im Kern der Spurabbildung liegen, deren Spur also 0 ist?

27.01.2011, 14:36

Freddy76

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bin mir unsicher.ist das nicht einfach

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 14:42

tigerbine

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Ja, das ist hier der Nullvektor. Auch Nullmatrix. Nun nimm nicht v als Symbol, sondern wie im Text vorgeschlagen:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_{1}, A_{2} ,A_{3}\in M(2,Q) \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun ein Linearkombination zur Nullmatrix aus?

27.01.2011, 14:47

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} A_{1} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+ A_{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+ A_{3}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 14:48

tigerbine

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Das ist Unsinn. Die Matrizen werden doch mit Skalaren multipliziert. Raus kommen soll die Nullmatrix. Nochmal. Und die Skalare sind nicht per se alle 0.

27.01.2011, 14:52

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} A_{1} x_{i} +A_{2}x_{i}+A_{3}x_{i} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 14:57

tigerbine

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Fast.

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot A_{1} + \lambda_2 \cdot A_{2}x_{i}+ \lambda_3 \cdot A_{3} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun sollst du A1, A2, A3 so wählen, dass gilt:

(i) spur(A1)=spur(A2)=spur(A3)=0
(ii) in (*) muss gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:04

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix} 0+ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix}0+ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix}0 =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:05

tigerbine

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Punkt (ii) ist nicht erfüllt.

27.01.2011, 15:09

Freddy76

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hm dann verstehe ich ii.) nicht
wenn $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=\lambda _{2}= \lambda _{3} =0<br /> \end{eqnarray*}$

dann muss doch $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \lambda _{2}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{3}=0 \end{eqnarray*}$ sein

oder nicht?

27.01.2011, 15:12

tigerbine

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Zitat:

(ii) in (*) muss gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

Warum habe ich das Wort muss markiert? (*) gilt ja immer für $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$ . Entscheident ist doch, dass es keine andere Wahlmöglichkeit gibt. Bitte schreibe die Skalare vor die Matrizen.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix}0+ (-1)\cdot\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:16

Freddy76

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achso das gilt weil K=Q ist.

27.01.2011, 15:20

tigerbine

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Ich hätte mir auch andere Zahlen ausdenken können. Hauptsache aus Q(Skalarkörper).

27.01.2011, 15:29

Freddy76

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vielen dank
ich habs jetzt verstanden

27.01.2011, 15:30

tigerbine

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Und welche Matrizen hast du nun gewählt?

27.01.2011, 15:33

Freddy76

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das beispiel von mir

27.01.2011, 15:34

tigerbine

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Aber das ist doch falsch. Diese Matrizen sind linear abhängig, das habe ich dir doch vorgerechnet.

27.01.2011, 15:37

Freddy76

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jetzt bin ich durcheinander

27.01.2011, 15:40

tigerbine

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Warum. Wann sind Vektoren linear unabhängig? Wenn sie sich nur trivial zum Nullvektor skalar kombinieren lassen. es geht hier offensichtlich auch nicht trivial.

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \\ \end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix}+ (-1)\cdot\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -4 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:41

Freddy76

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also ich muss zeigen dass gilt

$\begin{eqnarray*} x_{1}A_{1}+x_{2} A_{2}+x_{3} A_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:43

tigerbine

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Nein. Du musst deine Matrizen so wählen, dass sie nur trivial zur Nullmatrix kombiniert werden können. Ferner müssen sie die Spur 0 haben. Das sagte ich aber schon.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \cdot A_{1} + \lambda_2 \cdot A_{2}x_{i}+ \lambda_3 \cdot A_{3} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun sollst du A1, A2, A3 so wählen, dass gilt:

(i) spur(A1)=spur(A2)=spur(A3)=0
(ii) in (*) muss gelten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 \end{eqnarray*}$

27.01.2011, 15:44

Freddy76

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dabei darf

$\begin{eqnarray*} x_{1},x_{2} ,x_{3} \end{eqnarray*}$ nur Null sein

27.01.2011, 15:46

tigerbine

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böse

Es soll nur für Skalare gleich 0 gehen. Es reicht aber nicht aus, dass die Gleichung stimmt, wenn alle Skalare 0 sind. Denn dann stimmt die Gleichung doch immer. Wie oft denn noch? Erstaunt2

Erstaunt2

traurig

27.01.2011, 15:55

Freddy76

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 & 0 \\ 0 & -11 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
diese matrizen sind dann unabhängig

27.01.2011, 15:58

tigerbine

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Nein, sind sie nicht.

27.01.2011, 15:59

Freddy76

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aber ich hab das dies endlich verstanden

27.01.2011, 16:00

tigerbine

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Warum sollten die 3 Matrizen linear unabhängig sein?

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \begin{pmatrix} 11 & 0 \\ 0 & -11 \\ \end{pmatrix} + (-11) \cdot \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -3 \\ \end{pmatrix} +0 \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -7 \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also, linear abhängig.

27.01.2011, 16:07

Freddy76

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gibt es ein trick wie man solche matrizen schnell rausfindet?

27.01.2011, 16:09

tigerbine

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Ja. Man kennt sich in dem VR aus. Und du solltest dich mal fragen, warum du A(1,2) und A(2,1) immer 0 gesetzt hast. Welchen Einfluss haben diese Einträge auf die Spur? Wie könnten sie für lu wichtig sein?

Nun habe ich die Aufgabe im Grunde schon gelöst. Denke bitte in Ruhe nach und zeige dann ein Ergebnis. Ich mache nun Pause. Wink

Wink

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