Gestaltbestimmung Quadrik

27.01.2011, 15:22

KleineHexe

Gestaltbestimmung Quadrik

Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zur Gestaltbestimmung von Quadriken also der eukl. Normalform:
Ist die Reihenfolge der Eigenwerte irgendwie festgelegt? Oder habe ich mich verrechnet und sehe meinen Fehler nicht?

Konkretes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} x_{1} ^{2} + 2 x_{2} ^{2} - x_{3} ^{2} - 4x_{2} - 1=0 \end{eqnarray*}$

In Matrixschreibweise wäre das:

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} c= -1 \end{eqnarray*}$

Das bringt mich zu:
$\begin{eqnarray*} (1-\lambda )(2-\lambda )(-1-\lambda )=0 \end{eqnarray*}$

Und zu den Eigenwerten:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=1, \lambda _{2}=2 , \lambda _{3}=-1 \end{eqnarray*}$

Eigenvektoren sind dann folglich:

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=1 -> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{2}=2 -> \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{3}=-1 -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe also die Transformationsmatrix:
$\begin{eqnarray*} T=T^{T} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die Diagonalmatrix:
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich: D = A* und T^{T}a=a* und c=-1

$\begin{eqnarray*} a* =T^{T}a =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{1}^{2} + 2 y_{2}^{2} -y_{3}^{2} -4y_{2} -1=0 y_{1}^{2} + 2 (y_{2}^{2} -2y_{2} +1) -y_{3}^{2} -2 -1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}^{2} + 2 z_{2}^{2} -z_{3}^{2} -3=0 \frac{1}{3} z_{1}^{2} + \frac{2}{3} z_{2}^{2} - \frac{1}{3}z_{3}^{2} -1=0 \end{eqnarray*}$

Das wäre ein einschaliges Hyperboloid. Und die Lösung zu der Aufgabe.

Jetz hab ich die Aufgabe zum Üben nochmal gerechnet, aber die Reihenfolge der Eigenwerte vertauscht:
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}=1, \lambda _{2}=-1 , \lambda _{3}=2 \end{eqnarray*}$

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{1}= 1 -> \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{2}=-1 -> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu
$\begin{eqnarray*} \lambda _{3}= 2 -> \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe also die Transformationsmatrix:
$\begin{eqnarray*} T =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und die Diagonalmatrix:
$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a* =T^{T}a =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 2y_{3}^{2} -4y_{3} -1=0 y_{1}^{2} - y_{2}^{2} + 2(y_{3}^{2} -2y_{3} +1) - 2 -1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_{1}^{2} - z_{2}^{2} + 2z_{3}^{2} -3=0 \frac{1}{3} z_{1}^{2} - \frac{1}{3} z_{2}^{2} + \frac{2}{3}z_{3}^{2} -1=0 \end{eqnarray*}$

Ein völlig anderes Ergebnis mit völlig anderer Vorzeichenverteilung verwirrt

Habe ich mich da irgendwo verrechnet oder gibt's da eine Regel für die Reihenfolge der Eigenwerte?

Danke!

29.01.2011, 12:48

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gestaltbestimmung Quadrik
Hallo kleine Hexe,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} z_{1}^{2} + \frac{2}{3} z_{2}^{2} - \frac{1}{3}z_{3}^{2} -1=0 \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} z_{1}^{2} - \frac{1}{3} z_{2}^{2} + \frac{2}{3}z_{3}^{2} -1=0 \end{eqnarray*}$
Ein völlig anderes Ergebnis

Die Ergebnisse unterscheiden sich mathematisch gesehen kein bisschen.

Eine Hauptachsentransformation besteht aus Verschiebungen (Translation) und Drehungen, damit die Quadrik in eine gewisse Standardform kommt. Die Reihenfolge ist hier nicht genau festgelegt und wenn man das ganze noch um 90° um die $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ -Achse dreht, dann vertauschen $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ natürlich die Rollen.

Sei also beruhigt: Deine beiden Normalformen sind genau gleich. Eine Umbenennung von Variablen ist keine Veränderung der Form, die mathematisch auch nur ansatzweise interessant ist.

Gruß,
Reksilat.

29.01.2011, 13:13

KleineHexe

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaaaaah, vielen Dank! Dann kann ich ja beruhigt weiterrechnen smile

Neue Frage »

Antworten »

Gestaltbestimmung Quadrik

Verwandte Themen