Reihe - Divergenz zeigen

27.01.2011, 15:27

Ibn Batuta

Reihe - Divergenz zeigen

Hallo,

geht um folgende Aufgabe, die ich auf Konvergenz / Divergenz prüfen möchte.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\underbrace{\frac{k+2^k}{k2^k+k^3}}_{a_k} \end{eqnarray*}$

Quotientenkriterium versucht, funktioniert nicht so wirklich, Wurzelkriterium ebenso nicht.
Ich vermute ja stark, dass diese Reihe divergiert und möchte sie mit einer divergenten Reihe (harm. Reihe) abschätzen, allerdings klappt das auch nicht so recht, wie man hier sieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{k2^k+k^3}\le\frac{k+2^k}{k2^k+k^3}=a_k \end{eqnarray*}$

Ideen? Und wie kommt ihr darauf? Würde das endlich auch mal können. unglücklich

Danke euch für eure Antworten.

Ibn Batuta

27.01.2011, 15:40

klarsoweit

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RE: Reihe - Divergenz zeigen
Man muß einfach $\begin{eqnarray*} \frac{k+2^k}{k2^k+k^3} \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen. Du hast ja auch schon prinzipiell die richtige Idee, daß es Richtung harmonische Reihe geht. Im wesentlichen muß man also dafür sorgen, daß das 2^k verschwindet. Also die Axt raus und los geht's:

$\begin{eqnarray*} \frac{k+2^k}{k2^k+k^3} \geq \frac{2^k}{k2^k+k^3} \geq \frac{2^k}{k2^k + 2^k} = \frac{1}{k + 1} \end{eqnarray*}$

Und schon sind wir bei der harmoischen Reihe. Es macht dabei nichts, daß die Abschätzung erst ab einem gewissen k funktioniert.

27.01.2011, 15:45

Ibn Batuta

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Manchmal sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Dabei war das nun wirklich so einfach... Danke dir vielmals, klarsoweit!

Ibn Batuta

27.01.2011, 16:03

Ibn Batuta

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Ich hätte da noch eine Frage, was auch der Grund ist, warum ich nicht drauf gekommen bin.

Konkret geht es um diesen Schritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^k}{k2^k + 2^k} \leq \frac{2^k}{k2^k+k^3} \end{eqnarray*}$

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist unbedingte Voraussetzung oder? Oder reicht auch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ?
Der Grund, warum ich frage ist Folgender:
Da wir ja hier $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ haben, müsste ich ja ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} k^3=2^k \end{eqnarray*}$ , damit die Ungleichung auch zu einer Gleichung wird. Aber ein solches $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ohne Taschenrechner und numerische Auswertung kriege ich nicht hin und Hilfsmittel werde ich in der Prüfung nicht haben.

Ibn Batuta

28.01.2011, 09:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Die Bedingung $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist unbedingte Voraussetzung oder? Oder reicht auch $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ist schwächer als $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ schreibe, dann muß a kleiner oder gleich b sein. Es ist also zulässig, daß a=b ist. Das muß aber nicht unbedingt sein. Bezogen auf die oben gemachte Abschätzung muß es keinen einzigen Fall geben, wo die Gleichheit gilt. Die Verwendung des $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -Zeichens ist insofern einfach nur bequemer. Würde man das $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ -Zeichen setzen, dann muß man sicherstellen, daß das tatsächlich immer gilt und nicht zufälligerweise irgendwann mal eine Gleichheit eintritt.

28.01.2011, 09:23

Ibn Batuta

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Vielen, vielen Dank für diese Erklärung, klarsoweit. Jetzt habe ich das endlich verstanden. Freude

Ibn Batuta

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