Induktion,Folgen

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Desperado Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion,Folgen
Könnte mir mal jemand die vollständige Induktion usw. erklären?
blick ich nämlich kaum durch und schreib am Dienstag die Mathe-Klausur
(bin in grad in der 12.Klasse allgemeines Gymnasium),danke
TomBombadil Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich versuch mal die Idee der vollst. Induktion zu erklären.

Zu einer Induktion gehören immer 3 Teilaussagen:

1. Induktionaanfang.
2. Induktionsannahme
3. Induktionsschluss(oder Induktionsschritt)

Wir betrachten hier die natürlichen Zahlen (Folgen sind ja auch Abblidungen der natürlichen Zahlen)

Bsp.:

Die Folge n^2:

1 --> 1
2 -->4
3 -->9

usw.

Also beim Beweisen mit vollst. Induktion nutzen wir die Axiome der natürlichen Zahlen aus(bzw. die Induktion selbst ist ein Axiom).

Nämlich:

1. Seien a und b natürliche Zahlen, und sei (Nachfolger von a) = (Nachfolger von b), gilt: a = b.

Anders gesagt: Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben niemals den gleichen Nachfolger.

2. Es gibt nur eine natürliche zahl, die nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl ist. Die 1.

So und nun die Idee:

Zunächst beweisen wir eine Aussage für 1.

Danach nehmen wir allgem. an für eine beliebige natürliche Zahl k wäre die Aussage schon bewiesen.

Mit dieser Annahme müssen wir nur noch beweisen, dass die aussage auch für k+1 gilt. Ist uns dies gelungen, wissen wir, dass unsere Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt.

Anschaulich:
Haben wir also die vollst. Induktion "gemacht" gilt:

Ist die Aussage für 1 wahr, ist sie auch für 2 wahr.
Da wir k ganz allgem. gewählt haben, kann k = 1 sein.

=> Für 1 ist Aussage bewiesen und damit auch für 2.
Somit geht die Kette weiter.

=> Da wir nun wissen, dass die Aussage für 2 gilt, gilt sie auch für 3.
(k = 2; k+1 = 3) usw.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion,Folgen
Mit der vollständigen induktion will man eine Aussage für beliebig viele natürliche Zahlen n beweisen. Das Prinzip der vollständigen Induktion ist folgendes: Man zeigt die gewünschte Aussage für ein bestimmtest n (häufig 0 oder 1). Dies ist die Induktionverankerung oder der Induktionsanfang. Dann nimmt man an, die Aussage sei für ein beliebiges n erfüllt (Induktionsvoraussetzung oder Induktionsannahme). Für mindestens ein n ist dies ja richtig, wegen dem Induktionsanfang. Daraus will man dann folgern, dass die Aussage ebenfalls für den Nachfolger (n+1) gilt (Induktionsschritt n -> (n+1)). Wenn man dies geschafft hat, so ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen n gezeigt (z.B. für 1 im Induktionsanfang und dann für 2, wenn man einmal den Induktionsschritt anwendet, für 3, wenn man ihn zweimal anwendet usw. Die Anwendung des Induktionsschritts ist nicht beschränkt, da wir ja ein allgemeines n als Voraussetzung genommen haben).

Ich hoffe, ich habe dir mehr erklärt als dich verwirrt. Schau dir für ein paar Beispiele noch unseren Workshop vollständige Indukton an.
Wenn noch Fragen sind, einfach posten.

Gruß vom Ben

PS: Ich verschieb´s mal nach Analysis.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Induktion macht sich zunutze das man jede natürliche Zahl (rekursiv) durch addieren von +1 (n mal) erreichen kann, also man hat immer den nachfolger. Wenn man eine Aussage für ein bestimmtes n und den anchfolger (also n+1) beweisen kann ist, sie für alle natürlichen zahlen bewiesenda man alle restlichen Zahlen konstruieren könnte.
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