Beweis zum Thema Reihen

27.01.2011, 16:33

Milchmädchen

Beweis zum Thema Reihen

Leider habe ich wieder Schwierigkeiten mit dem neuen Thema "Reihen" und bräuchte ein bisschen Hilfe.

1) Beweisen Sie für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C}, /z/<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb \mathbb N _{0}: \frac{1}{(1-z)^{k+1}}= \sum\limits_{v=0}^\infty \begin{pmatrix} v+k \\ v \\ \end{pmatrix}z^{v} \end{eqnarray*}$

2) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n^{2} (\frac{3}{4})^{n} \end{eqnarray*}$

Bei der ersten Aufgabe würde ich irgendwie Induktion anweden und evtl das Cauchy-Produkt nutzen.
Doch leider bin ich damit irgendwie überfordert.
Stimmt das überhaupt, oder bin ich damit schon auf dem Holzweg?

27.01.2011, 16:56

Manni Feinbein

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RE: Beweis zum Thema Reihen

Zitat:

Original von Milchmädchen
Bei der ersten Aufgabe würde ich irgendwie Induktion anweden und evtl das Cauchy-Produkt nutzen.
Doch leider bin ich damit irgendwie überfordert.
Stimmt das überhaupt, oder bin ich damit schon auf dem Holzweg?

Du liegst mit Deiner Annahme ganz richtig.

Beide Aufgaben lassen sich wunderbar mit dem Cauchyprodukt lösen.

Bei der 1. wirst Du im Induktionsschritt so was berechnen müssen wie:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^{k+2}}=\left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty {n+k \choose n}z^n\right) \end{eqnarray*}$

29.01.2011, 16:20

Wraith720

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RE: Beweis zum Thema Reihen
Wie bekommt man denn den Induktionsanfang hin?
Da hörts bei mir schon auf...
Bitte um Hilfe!
SG

29.01.2011, 20:42

newt_almighty

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Mit k=0 anfangen, dann steht da die geometrische Reihe.

Hat jemand einen Tipp für 2)?

29.01.2011, 21:11

Mystic

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Beide Reihen kann man fast schon durch bloßes "Hinschauen" lösen, wenngleich jetzt nicht mit Mannis Anleitung...

Der Trick in beiden Fällen: Man muss dazu eine geeignet gewählte Reihe genügend oft differenzieren und für die zweite Reihe die Darstellung

$\begin{eqnarray*} n^2=n(n-1)+n \end{eqnarray*}$

benützen...

30.01.2011, 13:50

Wraith720

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Hallo!
Genau auf das komme ich auch:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-z)^{k+2}}=\left(\sum_{n=0}^\infty z^n \right) \left( \sum_{n=0}^\infty {n+k \choose n}z^n\right) \end{eqnarray*}$

Aber nun hänge ich daran das mit dem Cauchy Produkt auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty {n+k+1 \choose n}z^n \end{eqnarray*}$

zu bringen... Kann mir jemand helfen?

30.01.2011, 20:40

Wraith720

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Hat keiner ne Idee?
Hänge noch immer...

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