Spline-Interpolation

27.01.2011, 16:40

Gast11022013

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Spline-Interpolation

Meine Frage:
Hallo!

Diesmal dreht sich meine Frage um das Thema "Spline-Interpolation".

Und zwar soll der Kreisbogen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2}-\sqrt{2-x^2} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ durch zwei kubische Splines approximiert werden. Dafür soll man das benötigte Gleichungssystem bestimmen und lösen sowie die Spline-Funktionen angeben.

Meine Frage ist: Was ist hier gemeint mit ZWEI Spline-Funktionen?

Ich kenne es nur so, dass man halt EINE Spline-Funktion zu einem Interpolationsproblem dieser Art zu finden hat.

Meine Ideen:
Ich habe wirklich keine Ahnung, wie das hier gemeint ist.
Die Rechung selbst müsste ich dann hinbekommen.

27.01.2011, 16:46

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Kannst du den O-ton linken?

Es fehlt ja nun auch, wie fein die Teilintervalle sein sollen. [Dimension des LGS]. Oder könnte es hier mit Spline bestehend aus 2 Restriktionen[Teilpolynome] verwechselt worden sein? verwirrt

verwirrt

27.01.2011, 16:50

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Okay, hier der Originalton der Aufgabe:

Der Kreisbogen $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2}-\sqrt{2-x^2} \end{eqnarray*}$ soll im Intervall [-1,1] durch zwei kubische Splines zu einer äquidistanten Zerlegung approximiert werden. Bestimmen Sie das dafür nötige Gleichungssystem und lösen sie es. Geben Sie die Spline-Funktionen an.

27.01.2011, 16:52

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Variante 1:
Es wird für [-1,0] und [0,1] jeweils ein eigener Spline erstellt (?)

Variante 2:
http://gis.krz.de/alk/edbs2wkt/help/kurven.htm (ganz unten ?)

27.01.2011, 16:56

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Zur Variante 1:

Wie würde das ablaufen? Man würde also getrennt je eine Splinefunktion bestimmen und dann?

Variante 2 verstehe ich erst gar nicht.

27.01.2011, 17:09

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Nix und dann. Dann hat man, wie gewünscht 2 Splinefunktionen. Big Laugh

Big Laugh

Ich habe nun mal einen kubischen vollst. Spline auf [-1,1] berechnet mit Knoten in -1,-0.5,0,0.5,1.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³ RM = -0.0369 -0.2215 -0.0897 -0.3193 0 0 0.3534 -0.0239 0 0 0.3534 0.0239 -0.0369 0.2215 -0.0897 0.3193

Man sieht ja die Symmetrie.

[attach]17834[/attach]

Meine Vermutung: Man kann diesen Spline auch nur aus den Daten aus [-1,0] berechnen und den Rest mit Vorzeichenumkehr erhalten. [Spart Rechenleistung]. Anders gesagt, kommt bei den 2 Splines vielleicht raus, dass sie sehr schon glatt an einander passen. Und man somit aus den 2 Splines schön den Gesamtspline machen kann. Wir imho nur bei vollständig gehen.

code:
1: 2: 3: 4: 5:	Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³ RM = -0.0369 -0.2215 -0.0897 -0.3193 0 0 0.3534 -0.0239

Variante 2 war nur Internetrecherche. Kenne eure Vorlesung ja nicht.
[attach]17835[/attach]

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27.01.2011, 17:15

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Ich werde also nun mal versuchen diese zwei Splines zu berechnen.

Ich habe das noch nie vorher gemacht, mal sehen, was dabei herauskommt.

Ich werde danach die beiden Spline-Funktionen - so, wie ich sie ermittelt habe - hier aufschreiben, leider weiß ich nicht, wie man das so hübsch veranschaulichen kann, wie Du das immer schaffst.

27.01.2011, 17:18

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Kannst ja mal mit den Knoten rechnen, die ich genommen habe. Ich habe mir da ein matlab-Programm für gemacht. Das spukt dann die Bilder aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Koeffizienten habe ich ja auch hingeschrieben. Wink

Wink

27.01.2011, 17:21

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Oh, habe ich da etwas missverstanden?

Ich beschäftige mich doch jetzt zuerst mit dem Intervall [-1,0].

Dann kann ich ja nicht die gleichen Knoten nehmen, die waren doch auf das Intervall [-1,1] abgeschnitten - oder?

27.01.2011, 17:24

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Ich habe 2 Rechnungen gemacht. Die erste auf -1,-0.5,0,0,5,1 und die zweite auf -1,-0.5,0. Und was stellst du bei den Restriktionen [Teilpolynomen] fest? Genau, die sind identisch. Und wie hängen sie mit den Polynomen auf [0,1] zusammen? Drehe die Vorzeichen um.

27.01.2011, 17:32

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Ich bin nur gerade über die Anzahl der Knoten verwundert.

Wieviele Knoten muss man denn auf dem jeweils zu untersuchenden Intervall haben?

[Bei Polynominterpolation ja z.B. n+1, aber bei Spline-Interpolation?]

27.01.2011, 17:39

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Verstehe nun die Frage nicht. 2 Knoten für eine Restriktion (Polynom) des Splines. Ich habe hier einfach mal 2 Intervalle genommen. Kann das auch mit 10 und mehr ausrechnen... verwirrt

verwirrt

[WS] Spline-Interpolation - Theorie

(Ich mache Pause)

27.01.2011, 18:18

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Ich habe nochmal eine grundsätzliche Frage.

Wenn ich richtig informiert bin, so kann man eine Spline-Funktion ja jeweils herausbekommen über ein Gleichungssystem, in dem dann aber noch (bei kubischen Splines) 2 Freiheitsgrade sind.

Oder man löst es über die Momente.

Bei DIESER Aufgabe soll man wohl den ersten Weg wählen, da steht ja, man soll das Gleichungssystem aufstellen und lösen. Man stellt also die Gleichungen auf und wählt dann für die fehlenden zwei Bedingungen aus, was man möchte (vollständig, natürlich usw.).

Wenn ich also für das Intervall [-1,0] die Knoten 0,-0.5,0 wähle, so müsste ich 4*n ( also12) Gleichungen haben am Ende, richtig?

Ist das korrekt, was ich jetzt gesagt habe, dass es also diese beiden Wege gibt?

Edit:
Der Link war sehr hilfreich, was aber den Algorithmus angeht, der dort für die Berechnung für kubische Splines angegeben ist, so bin ich nicht so durchgestiegen.

27.01.2011, 19:16

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Von Momenten verstehe ich nichts.

Meine Interpretation: Erkenne, dass man nicht 2 Splines braucht, sondern mit dem vollst.Spline auf halbem Intervall schon den anderen mit herausbekommt. Was dann einem Spline über das komplette Intervall entspricht.

27.01.2011, 19:19

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Okay.

Ich habe mir auch den Link angesehen. Ich verstehe, welche Gleichungen man aufstellen muss.

Aber die konkrete Berechung verstehe ich nicht so recht, also den Algorithmus.

Ist das das Gleiche vorgehen wie hier:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm

?

27.01.2011, 19:21

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Big Laugh

Big Laugh

2 Bücher, 2 Varianten (Buchstaben) es aufzuschreiben. Ich hab es halt damals so gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.01.2011, 19:27

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Ich wollte das nur wissen, weil es für mich dort verständlicher erklärt ist.
Ich weiß nämlich nicht, was das mit Hermite und so weiter ist.

Danke.

Abschließend nochmal:

Wenn ich jetzt also 3 Knoten nehme: -1,-0.5,0 und dann den Link befolge...

Dann habe ich das Gleichungssystem aufgestellt, das die Aufgabe verlangt und kann am Ende die Spline-Funktion angeben?

[Ich würd nämlich gern vorher wissen, ob ich dann am Ziel bin. Die ganze Rechnerei soll nicht umsonst sein.]

27.01.2011, 19:30

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
In der Aufgabe steht nicht, aus wie vielen Teilpolynomen die beiden Splines jeweils bestehen sollen. Meine Wahl ist nur ein kleindimensioniertes Beispiel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht sollst du die Matrix/ das LGS auch allgemein aufstellen?

27.01.2011, 19:31

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
unglücklich

unglücklich

Keindimensionierstes Beispiel?

Was heißt denn das wieder?

Oder kleindimensioniert?

27.01.2011, 19:40

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Es steht doch kleind... da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ups

04.02.2011, 16:08

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Da die Lösung der Aufgabe noch aussteht, möchte ich das gerne nachholen und ergänzen, sodass diese Frage als beendet angesehen werden kann.

Die Ausgangssituation war, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{2}-\sqrt{2-x^2} \end{eqnarray*}$ auf den Intervallen $\begin{eqnarray*} [-1,0], [0,1] \end{eqnarray*}$ approximiert werden soll und zwar durch "zwei Spline-Funktionen".

Im Tutorium habe ich erfahren, dass

$\begin{eqnarray*} s_1(x)=(\sqrt{2}-1)(0,5(x+1)^3-1,5(x+1)+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2(x)=(\sqrt{2}-1)(-0,5x^3+1,5x^2) \end{eqnarray*}$

die beiden Spline-Funktionen sein sollen.
Hierbei bestätigt sich, dass die Formulierung der Frage unglücklich ist, denn es werden ja genau genommen nicht zwei Splines ermittelt, sondern ein Spline, der sich aus zwei Teilpolynomen zusammensetzt; das ist ja ein Unterschied. tigerbine hatte hat oben bereits vermutet, dass die Fragestellung eventuell irreführend ist.

Jedenfalls möchte ich diese Lösung gerne versuchen hier auszuführen, denn ein Lösungsweg wurde leider im Tutorium nicht vorgestellt und für die Klausur muss ich es beherrschen.

Lehrer

Lehrer

Aufzustellen ist ein Gleichungssystem aus insgesamt 8 Gleichungen, wobei zwei der Gleichungen hinzugefügt werden müssen, damit das System eindeutig lösbar ist.

Die Knotenpunkte sind:
$\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=1 \end{eqnarray*}$

Das heißt, hier ist $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ [Daher müssen es auch $\begin{eqnarray*} 8=4\cdot n=4\cdot 2 \end{eqnarray*}$ Gleichungen sein, wobei $\begin{eqnarray*} 4\cdot n - 2=6 \end{eqnarray*}$ Gleichungen entstehen, die unabhängig davon sind, ob man sich für natürliche, Hermite´sche oder periodische Endbedingungen entscheidet.]

$\begin{eqnarray*} s_1(x)=a(x+1)^3+b(x+1)^2+c(x+1)+d \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_2(x)=ex^3+fx^2+gx+h \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Dann muss gelten:

1. $\begin{eqnarray*} s_1(-1)=f(-1) \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} s_1(0) =f(0) \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} s_2(0)=f(0) \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} s_2(1)=f(1) \end{eqnarray*}$
5. $\begin{eqnarray*} s'_1(0)=s'_2(0) \end{eqnarray*}$
6. $\begin{eqnarray*} s''_1(0)=s''_2(0) \end{eqnarray*}$

Unter Hermite-Endbedingungen kommen hinzu:

7. $\begin{eqnarray*} s'_1(-1)=f'(-1) \end{eqnarray*}$
8. $\begin{eqnarray*} s'_2(1)=f'(1) \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung mit natürlichen Endbedingungen, kann man die Gleichungen 1-6 übernehmen. Nur die siebte und achte Gleichung sind anders, nämlich:

7. $\begin{eqnarray*} s''_1(-1)=0 \end{eqnarray*}$
8. $\begin{eqnarray*} s''_2(1)=0 \end{eqnarray*}$

Ich entscheide mich hier mit natürlichen Endbedingungen zu rechnen.

Die konkreten Gleichungen (1-8) lauten dann:

1. $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} a+b+c+d=0 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} e+f+g+h=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$
5. $\begin{eqnarray*} 3a+2b+c=g \end{eqnarray*}$
6. $\begin{eqnarray*} 2\cdot (3a+b)=2f \end{eqnarray*}$

7. $\begin{eqnarray*} 2b=0 \end{eqnarray*}$
8. $\begin{eqnarray*} 6e+2f=0 \end{eqnarray*}$

Als Lösung dieses linearen Gleichungssystems ergibt sich für die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} s_1(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a=\frac{\sqrt{2}-1}{2}, b=0, c=\frac{-3(\sqrt{2}-1)}{2}, d=\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$

Also gilt $\begin{eqnarray*} s_1(x)=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\cdot (x+1)^3-\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}\cdot (x+1)+\sqrt{2}-1 \end{eqnarray*}$

Durch Ausklammern des Faktors $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ ergibt sich das zu Beginn genannte Ergebnis für das Teilpolynom $\begin{eqnarray*} s_1(x) \end{eqnarray*}$ .

Als Lösung des linearen Gleichungssystem ergibt sich weiter für die Koeffizienten von $\begin{eqnarray*} s_2(x) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} e=\frac{-(\sqrt{2}-1)}{2}, f=\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}, g=h=0 \end{eqnarray*}$

Demnach gilt $\begin{eqnarray*} s_2(x)=-\frac{(\sqrt{2}-1)}{2}\cdot x^3+\frac{3(\sqrt{2}-1)}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ .

Auch hier liefert das Ausklammern des Faktors $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ das oben genannte Ergebnis für das Teilpolynom $\begin{eqnarray*} s_2(x) \end{eqnarray*}$ .

Zur Veranschaulichung:

[rot: Ausgangsfunktion, grün: $\begin{eqnarray*} s_1(x) \end{eqnarray*}$ , blau: $\begin{eqnarray*} s_2(x) \end{eqnarray*}$ ]

05.02.2011, 15:01

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Was möchtest du nun von uns? Das wir nachrechnen? Erstaunt2

Erstaunt2

Big Laugh

Wink

05.02.2011, 15:34

Gast11022013

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RE: Spline-Interpolation
Nein, ich möchte eigentlich gar nichts.
Ich wollte nur freundlicherweise die Lösung posten.

Ich finde, wenn mir schon geholfen wurde, sollte man doch auch das Endergebnis bereitstellen.

05.02.2011, 15:40

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation
Das finde ich sehr nett von dir. Mit Zunge

Mit Zunge

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