Kurvendiskussion gebrochen "trigometrischer" Funktionen

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Iwan Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion gebrochen "trigometrischer" Funktionen
Meine Frage:
Liebes Matheboard,

und zwar scheitere ich an der Kurvendiskussion der folgenden Funktion:

f(x)=((sin(x)*cos(x))/(|x|-x) auf [-3;0]

(habe leider keine Ahnung, wie ich die Funktion hier anders notieren soll)


Meine Ideen:
die Nullstellen der Funktion lautet logischer weise: -Pi/2
die erste Ableitung habe ich bereits auch raus und sie stimmt auch.
g´(x) = 2*sin(x)^2*x-x+ 1/2*sin(2*x)

(ist nur der Zähler der Funktion, weil nur dieser Interessant ist.
Zudem habe ich sie schon mal leicht umgeformt allerdings habe ich keine Ahnung wie ich auf die Nullstellen kommen soll.

Ich danke euch für die zügige Bearbeitung!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Korrigiere meine erste Aussage (Hatte behauptet |x|-x=0).

|x|-x = -2x für negative x

Somit ist die zu betrachtende Funktion



Erste Ableitungen mit der Quotientenregel:



Diese Funktion hat zwar Nullstellen, ich bezweifle aber, dass sie elementar zu berechnen sind. Bist Du sicher, dass die Aufgabe so korrekt ist?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Die Funktion ist für negative x überhaupt nicht definiert (Weil |x|-x=0).
Da macht es keinen Sinn sie zu diskutieren. Hast Du vielleicht einen Fehler beim Übertragen der Aufgabe gemacht?

Das sehe ich nicht so.
Man muss statt der angegebenen Funktion die Ersatzfunktion in diesem Intervall [-3; 0] aufstellen:



Damit geht es dann normal weiter.

Und es ist auch falsch, nur den Zähler abzuleiten, der Nenner spielt ebenso eine Rolle, weil auch er die Variable enthält (Bruchregel!).

mY+

EDIT:
Gut, Helferlein hat korrigiert. Alles andere gilt aber nach wie vor.
Iwan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht nur den Zähler abgelitten, sondern es ist aus der Ableitung der vereinfachte Zähler.

Nur habe ich keine Ahnung, wie ich die Nullstellen dieses Zählers finde. Die Ableitung ist korrekt dies habe ich mehrmals überprüft.

Ich hatte vorhin auch "den Blick" für

f(x) = -(sin(2x) / 4x)

sie so abzuleiten ist sicher einfacher

-8x*cos(2x)+4*sin(2x) und das ganze dann halt durch 16 x^2

Nur die Frage wie ich daraus die NST bekomme bleibt die selbe :/
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler steht ein Produkt. Wenn dieses Null ist, was folgt daraus für die Faktoren?
__________

Nicht schlecht ist es auch, zuvor dieses Produkt in zu schreiben und nur diesen Term dann Null zu setzen.

Aus



folgen dann mit einem Schlag alle Lösungen.

Hinweis: Dies gilt allerdings nur für die Funktion selbst.
Bei der Ermittlung der Extremwerte und Wendepunkte (Nullstellen der Ableitungen) hilft nur noch ein Näherungsverfahren.

mY+
Iwan Auf diesen Beitrag antworten »

Genau um die Nullstellen der Extremwerte und Wendepunkte ging es mir.

das - Pi/2 die NST von f(x) ist habe ich schon zu Anfangs gepostet.

Wie genau bewerkstellige ich dies mit einem Näherungsverfahren bei den Extremwerten. Diese Aufgabe ist Klausurniveau und wir haben keinerlei Hilfsmöglichkeiten (Taschenrechner etc.)

Ich danke euch!!!!
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Mithilfe Mythos Darstellung der Funktion erhältst Du die Ableitung



Dies wird Null wenn

Die rechte Seite sollte Dich an eine andere trigonometrische Funktion erinnern, was die Suche der möglichen Extremstelle erleichtert.

Prinzipiell stellt sich aber die Frage, ob Du die Aufgabe korrekt aufgeschrieben hast. Denn auch auf Uni-Niveau ist es ungewöhnlich eine Aufgabe zu stellen, die ohne technische Hilfsmittel nahezu unlösbar erscheint.
Iwan Auf diesen Beitrag antworten »

gut 2x= tan(2x)

werde dies dann später mal weiter bearbeiten. Also bei uns an der Uni ist es so, dass solche Aufgaben in der Klausur vorkommen und das einzige Hilfsmittel was mir haben ist ein halbes DIN A4 Blatt als Formelsammlung. Da es 15 Kapitel gibt und allerhand Formeln passt so einiges nicht drauf. Klar sind die Standardwerte für die trigometrischen und hyperbel funktionen drauf aber alles passt nunmal nicht.

ich tue mir gerade nur irgendwie schwer eine komplette Kurvendiskussion an der Funktion zu machen. Weiss der Teufel wieso.
Iwan Auf diesen Beitrag antworten »

Also komme nicht weiter.

Kann mir das mal jemand ausführlich erklären, wie ich dort ohne Taschenrechner oder sonstige Hilfsmittel die Extremstellen raus finden kann?!

Ich danke euch!!!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

x = 0 sieht man sofort durch scharfes Hinsehen Big Laugh . Dort befindet sich ein Minimum.
Damit hat sich's dann bei den Extremwerten und Wendepunkten ohne weitere Hilfmittel.
Mittels Erstellung eines Plots (Graphen) sieht man, dass sich eine weitere Extremstelle zwischen -2 und -3 (bei x = -2,247) befinden muss. Daran kommt man mittels Näherungsverfahren.

Auch die Wendepunkte entziehen sich einer elementaren Berechnung. Aus dem Graphen kann deren ungefähre Lage eingegrenzt werden (x1 = -1,041, x2 = -2,97).



mY+
Iwan Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir!

das war dann auch meine idee nur irgendwie ist in den letzten Tagen der Wurm drin^^

ich hoffe mal das eine Aufgabe mit einem solch großem Aufwand nicht in der Klausur dran kommt. Die geht ja nur 2h und diese Aufgabe nimmt ja schon gut 20min Aufwand ein. (wenn drin geübt und mit Hilfsmitteln)

Ps: x=0 ist ja keine Wirkliche Nullstelle da die Funktion dort 1. nicht definiert ist und 2. zusätzlich eine Deflücke vorliegt. =)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bezüglich x = 0 hast du Recht.
x = 0 ist nur eine Lösung der Gleichung tan (2x) = 2x.

mY+
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