lineare abbildungen, drehungen, drehwinkel, affin,...

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schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »
lineare abbildungen, drehungen, drehwinkel, affin,...
Meine Frage:
hi, ich hab ein problem. und zwar komm ich bei den 2 aufgaben nicht weiter. ich weiß nichtmal was zu tun ist. könnte mir da jemand weiter helfen? [attach]17836[/attach]

Meine Ideen:
Hab schon skrip usw durch, aber kommt nicht weiter
ES Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare abbildungen, drehungen, drehwinkel, affin,...
Ja dann Beschreib doch mal, was lineare Abbildung, eine affine Abbildung, eine Bewegung und eine eigentliche Bewegung heißt. Welche Eigenschaften haben sie?


Grüße

ES
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Hab schon skrip usw durch, aber kommt nicht weiter


Du machst es dir sehr bequem. Lies nicht nur dein skrip, benutz auch deinen Grip!
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

ihr seid gut, das mach ich schon:

fangen wir bei linear an: wenn man den 0 vektor einsetzt, sollte auch der 0 vektor rauskommen. dann wäre die abbildung linear. bei f und g passt das, aber wieso ist die h nicht linear? (0,0)T*(irgendwas)*(0,0) gibt doch (0,0) ?!

aber was ich auch nicht versteh, R² wird nach R abgebildet, ist es vll schon wegen dem nicht linear?
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir bitte erst klar was die Begriffe bedeuten!

Zum Begriff Lineare Abbildung

Du musst überprüfen ob folgendes gilt:

1.
2.

Und was du angesprochen hast : 0 wird wieder auf 0 abgebildet!


Was würdest du überprüfen wenn du schauen willst ob es eine Affine Abbildung ist?
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Mach dir bitte erst klar was die Begriffe bedeuten!


Google schon der ganze Tag. Hab dazu noch das Papula 1,2,3 und das rep.

Zitat:
Original von ES
Zum Begriff Lineare Abbildung

Du musst überprüfen ob folgendes gilt:

1.
2.

Und was du angesprochen hast : 0 wird wieder auf 0 abgebildet!


ok, muss denn nur eines von den 3 nicht wahr sein, damit sie nicht mehr linear ist? Wenn ja: zu g: 1. stimmt, 2. stimmt nicht (da den 2 Konstanten) und den 0 vektor bildet sie somit auch nicht ab.
zu h: bildet den 0 vektor ab, 2. klappt auch. und 1. auch.

und nun zur h: wie teste ich hier genau? was könnte ich für x einsetzen? (muss ich hier ein 2x2 matrix für x nehmen?! checks irgendwie net.......

Zitat:
Original von ES
Was würdest du überprüfen wenn du schauen willst ob es eine Affine Abbildung ist?



Eine Abbildung phi : V W heißt affin, falls es eine lineare Abbildung F : V W
gibt mit
phi(y) - phi(x) = F(y - x) für alle x, y V.

was das mir allerdings sagen soll, bzw wie ich das teste weiß ich absolut nicht
 
 
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich doch nicht rechtfertigen, dass du noch nicht alle Zusammenhänge beinander hast. Aber bitte versuch erst zu verstehen was die Dinge bedeuten! Die Aufgabe am Besten mal vergessen!

Wenn eine Bedingung nicht erfüllt ist, ist es keine Lineare Abbildung!

Die Bedingung die du für die Affine Abbildung dargestellt hast, ist doch genau die für die Lineare!
Was für ne Form hat denn eine Affine Abbildung?

Grüße
ES
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

das weiß ich ehrlich gesagt nicht.
was ich aber von unserem skript weiß ist:

[Eine Abbildung heißt affine Abbildung wenn es eine Matix A und einen Vektor t derart gibt, dass gilt: .

Die Matrix A heißt linearer Anteil, der Vektor t heißt Translationsanteil von
Ist eine bijektive affine Abbildung, so nennt man eine Affinität]

problem ist nur, dass ich nach dem satz weniger versteh wie vorher.
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Schorsch,

Affine Abbildung:




Man kann sich eine affine Abbildung als eine lineare Abbildung vorstellen, deren Bild um den Vektor t verschoben wird.

Das heißt du musst nur überprüfen ob Matrix A die Bedingungen für Lineare Abbildungen erfüllt!

Was musst du übrigens überprüfen, wenn du eine affine Abbildung hast und du wissen willst ob es sich um eine Affinität handelt?


Zum nächsten Begriff Bewegung
Was stellst du dir da darunter vor? Wie hängt der Begriff der Bewegung mit den bereits erläuterten zusammen?

Grüße

ES
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Genau Schorsch,

Affine Abbildung:




Man kann sich eine affine Abbildung als eine lineare Abbildung vorstellen, deren Bild um den Vektor t verschoben wird.

Das heißt du musst nur überprüfen ob Matrix A die Bedingungen für Lineare Abbildungen erfüllt!


öhm, aber laut lösung ist g nicht linear allerdings affin?!

/bevor ichs vergesse: schonmal danke!
und im übrigen hat sich aufgabe 5 geklärt. (allerdings hab ich noch ne frage, aber erstmal nr 4 smile )
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Dann stimmt die Lösung Augenzwinkern

Du kannst das auf einen Blick sehen, dass g nicht linear sein kann. Setz doch mal den 0-Punkt ein, der wird doch offenbar um einen Vektor t verschoben.
Du musst allerdings überprüfen ob die Matrix linear ist. Wenn das der Fall ist, handelt es sich um eine Affine Abbildung.

Ansatz für Bewegung:

Eine Bewegung wird oft auch als Isometrie beschrieben.
Schlag mal in deinem Skript nach, was du Überprüfen musst, dass eine Abbildung eine Isometrie ist.

Grüße

ES
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Dann stimmt die Lösung Augenzwinkern

Du kannst das auf einen Blick sehen, dass g nicht linear sein kann. Setz doch mal den 0-Punkt ein, der wird doch offenbar um einen Vektor t verschoben.
Du musst allerdings überprüfen ob die Matrix linear ist. Wenn das der Fall ist, handelt es sich um eine Affine Abbildung.



auu maan, gerade bemerkt, dass ich die falsche lösung hatte. wieso f und g nicht linear ist, ist mir jetzt klar. könntest du mir allerdings mal schnell zeigen, wie ich teste, ob h nicht linear ist? wie überorüf ich das genau?

zu affin: laut lösung lässt sich nicht sagen linear=affin. d.h. wie überprüf ich, ob eine l.A. affin ist. bewegung schau ich mir gleich an. zu eigentlich: det=1 eigentlich, det =-1 uneigentlich.

det f= -3 -> nein
und wie rechnet ich die det. von g und h aus? da steht ja noch x und y in der matrix ?!
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

ist die det. von h nicht 1 ? dann müsste sie ja eigentlich sein, was aber laut lösung nicht der fall ist..

(sry 4 doppelpost, aber hab hier nocht keinen acc)
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Affine Abbildung ist Matrix (die Bedingungen für lineare Abbildung erfüllt) + Vektor. Du musst also nur überprüfen ob Matrix diese Bedingungen erfüllt.
Setz dazu einfach mal 2 Vektoren in die Bedingung ein und schau obs richtige rauskommt.

Was ist denn eine Bewegung? Wie hängt sie mit Affinen Abbildungen zusammen?
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Affine Abbildung ist Matrix (die Bedingungen für lineare Abbildung erfüllt) + Vektor.


Du sagst also, dass eine lineare abbildung nur affin sein kann, wenn sie auch linear ist? laut meiner lösung ist allerdings g affin obwohl sie nicht linear ist.



Zitat:
Original von ES
Was ist denn eine Bewegung? Wie hängt sie mit Affinen Abbildungen zusammen?


Im skript steht zwar was allerdings versteh ichs nicht so recht. was ich allerdings gefunden hab ist, dass eine l.A. immer eine Bewegung "ist","macht" (?), wenn sie auch eigentlich ist ?!. und das wäre ja wiederum einfach zu überprüfen.

aber kannst du mir mal sagen wie ich die det. von g und h ausrechne?! ich kann eigentlich schon det. ausrechen, aber irgendwie check ich nicht, wie die matix von g und h aussehen sollte, damit ich damit rechnen kann?!
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du sagst also, dass eine lineare abbildung nur affin sein kann, wenn sie auch linear ist? laut meiner lösung ist allerdings g affin obwohl sie nicht linear ist.


Nein so ist es nicht! Die Matrix A deiner "möglicherweise" Affinen Abbildung muss die einer Linearen Abbildung sein. (Die Bedingungen die wir erfüllt haben)
Affin heißt einfach: Lin. Abbildung + Translation.
Das eine Affine Abbildung keine Lineare Abbildung ist, ergibt sich aus den Bedingungen bzw. Verständnis.

Bei Bewegungen gibts das Stichwort Isometrie. Hier muss man überprüfen ob die Matrix der Affinen Abbildung orthogonal ist. Wie überprüft man denn Orthogonalität von Matrizen?

Grüße
ES
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Zitat:
Du sagst also, dass eine lineare abbildung nur affin sein kann, wenn sie auch linear ist? laut meiner lösung ist allerdings g affin obwohl sie nicht linear ist.


Nein so ist es nicht! Die Matrix A deiner "möglicherweise" Affinen Abbildung muss die einer Linearen Abbildung sein. (Die Bedingungen die wir erfüllt haben)
Affin heißt einfach: Lin. Abbildung + Translation.
Das eine Affine Abbildung keine Lineare Abbildung ist, ergibt sich aus den Bedingungen bzw. Verständnis.



nochmal zu affin..

habe gerade folgendes gefunden:

[attach]17860[/attach]

d.h. wenn ich solch eine form habe, dann ist meine lineare abbildung affin?

bei f: wäre der hintere teil einfach (0,0)?
bei h: sieht man ja sofort, dass es nicht sein kann, da x^T und x vorkommen
aber wie bring ich die g auf diese form, sodass ich es erkennen kann?! 1/wurzel2(5,2) ist wohl der hintere teil?, aber wie sieht dann die eigentliche matrix aus? etwa:





Zitat:
Original von ES
Wie überprüft man denn Orthogonalität von Matrizen?


laut wiki: zb. mit: Q ist invertierbar und ihre Transponierte ist gleichzeitig ihre Inverse:

Q^T = Q^-1 .

oder halt schauen ob die vektoren rechtwinklig sind (skalarprodukt)

aber wenn die bedingung von wiki passt hier irgendwie nicht?! stimmt denn überhaupt meine matix zu g?
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist die Form einer affinen Abbildung. Aber du musst wie gesagt aufpassen: Eine Affine Abbildung kann keine Lineare Abbildung sein und andersherum! Zwei ganz getrennte Begriffe.

Was hast du denn bei g gemacht? Bilde die Standardvektoren ab und fertig. Habe dein Ergebnis nicht überprüft.

Deine Bedingung für Orthogonalität ist richtig!

Grüße

ES
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Bilde die Standardvektoren ab und fertig.


wenn ich (1,0) bei g einsetze kommt bei mir raus.

Gibt es einen zusammenhang der mir es noch erleichttern würde? sprich gibt es sowas wie: Wenn eine l.A. Matrix eigentlich ist, dann ist sie gleichzeitig auch eine Bewegung?
schorsch234 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ES
Aber du musst wie gesagt aufpassen: Eine Affine Abbildung kann keine Lineare Abbildung sein und andersherum!


aber wie kann dann (laut lösung) f sowohl linear sein als auch affin?

/nochmal sry 4 doppelpost
ES Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid. Meine Aussage war bisschen missverständlich, wenn nicht sogar nur falsch zu verstehen.

Eine Affine Abbildung ist Lineare Abbildung wenn der Translationsvektor 0,0 ist.
Bei g müsste in der Lösung stehen: Affin aber nicht linear, da eben noch ein Translationsvektor vorhanden ist.
Meinem Kenntnisstand gibt es keinen Trick.
Du musst überprüfen, ob die Matrix der Affinenabbildung orthogonal ist -> dann ist es eine Bewegung/ Isometrie. Wenn ja -> überprüfen ob detA =1 oder det A=-1.

Post doch zum Abschluss mal ein skizziertes Struktogramm, wie du was überprüfen musst!


Grüße

ES
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