Vektorrechnung. Gerade durch Punkt B und parallel zu 2 Ebenen

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blink777 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung. Gerade durch Punkt B und parallel zu 2 Ebenen
Hallo.
Ich hab hier eine Aufgabe vorliegen, die wie folgt lautet:

H: 2x1 - x2 + x3 - 4 = 0 ; A(-1/2/2), B(3/-3/1)

A) ...
B) Ebene G: 4x1 - 5x2 + x3 + 6 = 0
C)...
D) Bestimme eine Gleichung der Gerade g, die durch B geht und parallel zu G und H ist.

Leider komme ich hier nicht mehr weiter: mein Ansatz sieht wie folgt aus:
ich hab die die Normalvektoren der Ebenen G und H
n_g = (4/-5/1) ; n_h = (2/-1/1)
Diese Multipliziere ich mit dem Richtungsvektoren g (Skalarprodukt).
Skalarprodukt muss 0 ergeben, da die Gerade orthogonal zu den Normalvektoren der Ebenen ist. Da B aus g liegt, nehme ich eine beliebigen Punkt X , der auch auf g liegt und berechne den Vektor XB.

(1) (2/-1/1) * [(3/-3/1) - (x1/x2/x3)]
(2) (4/-5/1) * [(3/-3/1) - (x1/x2/x3)]

--> (1) 2x1 - x2 + x3 -10 = 0
(2) 4x1 - 5x2 + x3 -28 = 0

Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Wäre nett, wenn ihr mir auf die Sprünge helfen könntet. Danke schon mal.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist die gesuchte gerade.
Hierbei bietet es sich an (1)-(2) zu rechnen, um auf die Stufenform zu gelangen.
blink777 Auf diesen Beitrag antworten »

das hab ich bereits versucht und bin dann zu
-2x1 + 4x2 +18 = 0
gekommen.
aber wie mach ich dann weiter?
ich hab dann versucht den Punkt B einzusetzten. aber ein vernünftiges ergebnis bekomme ich dabei nicht.
blink777 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin zu einem Ergebnis gekommen, jedoch mit einem anderen Rechenweg:

g: x= (3/-3/1) + s(2/1/0)

Kann das stimmen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blink777
Also ich bin zu einem Ergebnis gekommen, jedoch mit einem anderen Rechenweg:

g: x= (3/-3/1) + s(2/1/0)

Kann das stimmen?

ich denke nein

(I) 2x - y +z = 0
(II) 4x -5y + z = 0

ergibt

2x - 4y = 0

Y = 1, x = 2
aus (I) z <> 0
blink777 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich habs verstanden. vielen dank für die schnelle hilfe!
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von blink777
das hab ich bereits versucht und bin dann zu
-2x1 + 4x2 +18 = 0 gekommen.
aber wie mach ich dann weiter?


Du hast doch dann die Gleichungen



Nun kannst Du die Lösung ablesen, indem Du x1 (alternativ x2) als freie Variable nimmst.



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