A schiefsymmetrische, ist E-A invertierbar

27.01.2011, 20:53	Kaschii	Auf diesen Beitrag antworten »
A schiefsymmetrische, ist E-A invertierbar Meine Frage: hallo erstmal, also meine Aufgabe lautet: A aus M(nxn;R)und A schiefsymmetrisch A^T=-A und E die Einheitsmatrix. zeige E-A invertierbar und (E-A)^-1(E+A)ist elment aus SO(n) Meine Ideen:* so jetzt habe ich bei der frage ob E-A invertierbar ist mir überlegt, dass ich zeigen muss dass der Rang A= n ist und dazu will ich zeigen, dass die det (E-A)ungleich 0 ist. das kriege ich auch hin für eine 3x3-Matrix aber für eine nxn-Matrix nicht. und beim zweiten Teil muss ich zeigen dass det(E-A)^-1*(E+A)=1 ist. da habe ich auch verschiedene Ansätze jedoch komme ich nicht weiter da ich das irgendwie zusammenfassen will aber nicht weiß wie ich (E-A)^-1 aufschreiben kann. ich hoffe ich konnte irgendwie erklären was ich meine. kann mir bitte irgendwer helfen?
29.01.2011, 13:46	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A schiefsymmetrische, ist E-A invertierbar Hallo Kaschii, Ich schlage mal so etwas wie einen "parallelen Gauß" vor. Schau Dir $\begin{eqnarray} E-A \end{eqnarray}$ genau an und versuche an der Stelle (1,2) und dann an der Stelle (2,1) eine Null zu erzeugen. Anschließend hast Du wieder eine Matrix mit $\begin{eqnarray} a_{ii}>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_{ij}=-a_{ji} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ . Mit der kannst Du analog fortfahren. Dass $\begin{eqnarray} (E-A)^{-1}(E+A) \end{eqnarray}$ orthogonal ist, hast Du dann wohl schon gezeigt. Für die Determinante nutze: $\begin{eqnarray} \det(X^{-1})=\frac{1}{\det(X)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \det(X)=\det(X^T) \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.

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