Eigenvektoren

27.01.2011, 21:30

Jassl

Eigenvektoren

Meine Frage:
Hallo

ich habe die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda -4 & -6 \\ -6 & \lambda +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und muss nun dazu die Eigenvektoren berechnen und darauf komme ich nicht.

Meine Ideen:
ich habe die Eigenwerte berechnet mit $\begin{eqnarray*} \lambda ^2 -3\lambda -40 =0 \end{eqnarray*}$

dann kommt für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =8 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =-5 \end{eqnarray*}$

Edit (jester.): LaTeX korrigiert, die Formeln müssen in

code:

1:

[latex] ... [/latex]

geschrieben werden.

27.01.2011, 21:37

jester.

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Hallo, ich bin sicher, du sollst nicht die Eigenvektoren der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda -4 & -6 \\ -6 & \lambda +1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sondern die der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Eigenwerte hast du bereits richtig bestimmt. Nun ist ein Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ genau dann Eigenvektor zu einem Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} Av=\lambda_1v \Leftrightarrow Av-\lambda_1 v = (A-\lambda_1)v=0 \end{eqnarray*}$ . Das heißt du musst nur das zugehörige homogene LGS lösen bzw. den Kern von $\begin{eqnarray*} A-\lambda_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen, um die Eigenvektoren zu finden.

27.01.2011, 21:47

jasssl

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ja genau und dann kriege ich aber als Vektor 3/2 t und t raus.
und das ist laut der Musterlösung falsch unglücklich

27.01.2011, 21:52

jester.

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Und wenn du einfach selbst nachrechnest, wird sich diese Lösung als richtig herausstellen.

27.01.2011, 21:56

jassssl

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Ich kanns noch 10 mal rechnen aber mein Ergebnis ist wieder 3/2 .
Was mache ich denn falsch?

27.01.2011, 22:09

jester.

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac 3 2 t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot \frac 3 2 t +6 \cdot t \\ 6 \cdot \frac 3 2 t - t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12t \\ 8t \end{pmatrix}= 8 \begin{pmatrix} \frac 3 2 t \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also handelt es sich um einen Eigenvektor zum Eigenwert 8.

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