Konvergenz von Reihen

27.01.2011, 22:02

Morgaine

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
Hi ich lerne gerade für meine Mathe 1 Prüfung und komm hier irgendwie nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=2}^\infty \frac{(n+1)x^{n} }{n(n-1)} <br /> x \in \mathbb R <br /> \end{eqnarray*}$

Nun soll ich herausfinden für welche Werte x konvergiert.

Meine Ideen:
Ich habe mir folgendes gedacht:

x = 0: Ist leicht da der Zähler immer 0 ist. Also ist der Grenzwert auch 0. Somit konvergiert die Reihe.

x = 1: Hab ich das Quotientenkriterium angewandt. Da hätte ich ebenfalls das 1 konvergiert.

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{n+2}{(n+1)*n} }{\frac{n+1}{n*(n-1)} } | = | \frac{(n+2)(n-1)}{(n+1)^{2} } | \leq 0.99999 < 1 \end{eqnarray*}$

x = -1: Nun habe ich eine alternierende Reihe, somit kann ich das Leibnitz Kriterium anwenden. Da $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert es hier auch.

Und für x > 1 und x < -1 hab ich gar keine Ahnung.

27.01.2011, 22:03

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Du kannst auch einfach den Konvergenzradius bestimmen, der Entwicklungspunkt ist x_0=0, weißt du, wie das geht?

27.01.2011, 22:04

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi.

Also erstmal, bist du sicher dass die Reihe so aussieht? Dann würd ich erstmal kürzen.

Und dann: Sagt dir der Konvergenzradius etwas?

27.01.2011, 22:14

Morgaine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah du hast recht ich hatte mich verschrieben, habs nun ausgebessert.

Nein Konvergenzradius haben wir glaub ich nie behandelt.

27.01.2011, 22:20

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, bist du dir da sicher oder glaubst du das nur?

Schau noch mal in dein Script.

Wenn nicht, dann musst du dir überlegen, wie die Reihe ausschaut für |x|>1 und überlegen, ob sie konvergiert oder nicht.

Du hast richtig gesagt, für x=(-1) konvergiert sie nach Leibniz, für |x|<1 konvergiert sie nach dem Quotientenkriterium, was ist für |x|>1 ?

Warum haben wir für |x|>1 keine Nullfolge mehr?

27.01.2011, 22:29

Morgaine

Auf diesen Beitrag antworten »

Von einen Konergenzradius kann ich nichts finden, aber wir haben über eine epsilon Umgebung gesprochen. Ist das das gleiche?

Nein, es dürfte keine Nullfolge mehr sein da bei wachsendem x sich nur der Zähler verändert und der Nenner gleich bleibt. Also müsste die Folge für x > 1 nach $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ konvergieren und x < -1 nach $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ . Richtig?

27.01.2011, 22:31

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmst so nicht ganz, für x<-1 und ungerade n geht die Folge gegen - únendlich, aber für x<-1 und gerade n geht sie gegen unendlich, für x>1 geht die Folge gegen unendlich.

Was passiert mit der Reihe?

27.01.2011, 22:36

Morgaine

Auf diesen Beitrag antworten »

Da für x < -1 die Folge alterniert und keine Nullfolge ist müsste sie also divergieren.

Für x > 1 konvergiert sie gegen unendlich.

P.S.: Mein Professor hat mir gerade zurück geschrieben und er mein die Folge divergiert für x = 1. Stimmt etwas mein Quotientenkriterium nicht? Oder irrt er sich (was ich eher nicht glaube)=

27.01.2011, 22:40

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso?

Es ist richtig, die Reihe konvergiert für x=1, sorry, ich hab auch echt kleiner benutzt, und für x=-1, es is nur zu üerprüfen, ob sie für x>1 und x<-1 konvergiert, und da ist sie divergent.

Du hast oben bei der Anwendung des Quotientenkriteriums doch gezeigt, dass sie für x=1 konvergiert und für x=-1 konvergiert sie nach Leibniz.

27.01.2011, 22:52

Shortstop

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen

Zitat:

Original von Morgaine

$\begin{eqnarray*} | \frac{\frac{n+2}{(n+1)*n} }{\frac{n+1}{n*(n-1)} } | = | \frac{(n+2)(n-1)}{(n+1)^{2} } | \leq 0.99999 < 1 \end{eqnarray*}$

Korrigiert mich wenn ich falsch liege, aber diese Ungleichung stimmt so nicht. Nach dem Quotientenkriterium müsstest du ja ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ finden, so dass

$\begin{eqnarray*} | \frac{(n+2)(n-1)}{(n+1)^{2} } | \leq q < 1 \ \ \forall n \ge n_0 \end{eqnarray*}$

Aber es ist doch

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} | \frac{(n+2)(n-1)}{(n+1)^{2} } | = 1 \end{eqnarray*}$

edit: Das würde auch die Aussage des Prof's bestätigen.

27.01.2011, 22:55

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von Reihen
Arrrrgh, voll verhauen, ist klar, es muss einen festen Wert <1 geben, konvergenz gegen 1 wird nicht zugelassen, jap Kvnb, hast recht.

Irgendwie war ich da beim Konvergenzradius. Hammer

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von Reihen

Verwandte Themen