Normalverteilung: Symmetrische Toleranzintervall

27.01.2011, 23:26

jsk85

Normalverteilung: Symmetrische Toleranzintervall

Hallo!

Im Thema Normalverteilung habe ich Probleme mit der folgende Aufgabe:

Zitat:

Eine Maschine erstellt Metallplatten, deren Dicke normalverteilt ist mit dem Erwartungswert 10 mm und Standardabweichung 0,03 mm. Welches symmetrische Toleranzintervall ist zu bestimmen, wenn der Ausschussanteil auf 5% festgelegt wird?

$\begin{eqnarray*} X:N(10;003) \end{eqnarray*}$

Ich nehme an, dass dieses "symmetrische Toleranzintervall" das Intervall ist in dem es 5% Ausschuss gibt - also die Werte, die die Standardabweichung von 0,03 mm überschreiten??? Da ich keine Werte weiß, schreibe ich es erst mal so auf:

$\begin{eqnarray*} p(a<x<b)= \end{eqnarray*}$

Nun kommt das erste Problem: Ich weiß, dass ich das ganze 0,95 gleichsetzen muss. Ich verstehe aber nicht warum. Ich würde es mit 0,05 gleichsetzen, da ich doch suche zwischen welchen Werten x sein muss, damit 5% raus kommt.

Wenn kann mich am Anfang und vlt. auch etwas weitergehend primär im Verständnis der Aufgabe unterstützen???

Danke und Grüße
Jan

28.01.2011, 00:09

T0b1a5

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Ersteinmal ist deine Normalverteilung falsch aufgeschrieben. Du gibst die Standabweichung an, wobei doch gilt: $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma^{2}\right) \end{eqnarray*}$
Das was du suchst, nennt sich "Konfidenzintervall". Da ich aber im Moment für andere Module lerne, konnte ich das Kapitel nocht nicht wiederholen. Allerdings kennst du schon einmal den passenden Ausdruck :P

Und 0,95 stimmt Augenzwinkern

Du suchst das Intervall, in dem deine Realisierungen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit gegebener Standardabweichung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 liegen. Würdest du ein Intervall suchen, in dem alle Werte mit einer Mindest-WS von 0,05 liegen, dann wäre es wirklich reichlich groß.

28.01.2011, 00:54

jsk85

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Nabend T0b1a5,

ah - ganz vergessen dazu zu schreiben: Komischerweise ist $\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma\right) \end{eqnarray*}$ bei uns die Normalverteilung. Ich habe das extra noch mal überprüft - alle Aufgaben werden so gerechnet, alle Normalverteilungen werden so angegeben. WIESO unsere gute Dozentin das so macht ist mir ein Rätzel Augenzwinkern

Danke erst mal für den Begriff "Konfidenzintervall" - ich werde mich morgen mal eingehend damit beschäftigen (heute hab ich glaube ich keine Power mehr für das buch Augenzwinkern

) und mich dann noch mal mit (hoffentlich) einen Lösungsversuch zurück melden.

Soweit, danke und eine gute Nacht!

28.01.2011, 07:25

T0b1a5

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Morgen,

okay, dann hab ich nichts gesagt.
Das Thema ist nicht sehr schwer, ich denke, wenn du einmal Wikipedia überfliegst, klappt es schon. Du hast ja echt alles gegeben, den Erwartungswert, die Abweichung, und $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ -Quantil. An sich brauchst du nur doch deine Tabelle zum "Rückwärtsrechnen" der Normalverteilung und aus der Vorlesung die passende Formel.
Alles einsetzen und schon bist du fertig smile

29.01.2011, 12:13

jsk85

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Moin,

ich habe mich jetzt mal dran gesetzt und ein wenig gegrübelt. In meiner Aufgabe und auch in dem Wikipedia-Artikel ist das 0,975-Quantil der Standardnormalverteilung erwähnt. Leider komme ich nicht darauf wie man diesen Wert ermittelt bzw. wo er her kommt oder was er mir sagen soll. Hast du diesbezüglich einen Tipp für mich? Ich denke dann kann ich (hoffentlich) problemlos weiter rechnen...

Jan

29.01.2011, 12:35

jsk85

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Okay, mittlerweile weiß ich woher die 0,975 kommt. Es handelt sich wohl um eine zweiseitge Abgrenzung, weshalb sich die 5% Ausschuss zur Hälfte im Plus, zu anderen Hälfte im Minus befinden.

Woher weiß ich, dass es eine zweiseitige Abgrenzung ist?

29.01.2011, 13:14

jsk85

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Okay, okay, ich habe noch mal Fortschritte gemacht und würde mich freuen wenn ihr kurz rüber schaut, ob alles korrekt recherchiert ist Augenzwinkern

Hinweis:
$\begin{eqnarray*} F* = \Phi \end{eqnarray*}$

Zu meiner Frage bezgl. der zweiseitigen Abgrenzung: Ergibt sich das ggf. daraus, dass nach dem SYMMETRISCHEN Toleranzintervall gefragt ist?

Ansonsten habe ich das ganze jetzt so gelöst:

$\begin{eqnarray*} N\left(\mu,\sigma\right) p(a<x<b) 50% von 5% = 2,5% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(a)=-0,975=F*(-1,96) \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} \frac{a-\mu}{\sigma}=\frac{a-10}{0,03}=-1,96 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{a-\mu}{\sigma}=\frac{a-10}{0,03}=-1,96 a=9,9412 \end{eqnarray*}$

Und über den gleichen Weg:
$\begin{eqnarray*} b=10,0588 \end{eqnarray*}$

Sieht eigentlich ganz gut aus, oder?

29.01.2011, 13:54

T0b1a5

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Also ich bin in dem Thema absolut nicht drin, aber es sieht komisch aus.

Du suchst ersteinmal das sogenannte $\begin{eqnarray*} u_{1-\frac{\alpha}{2}} \end{eqnarray*}$ -Quantil. Es ist sozusagen die "Umkehrfunktion" der Normalverteilung. Nachdem bestimmen hast du deine Abweichung zum Niveau $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und danach kansnt du dein Konfidenzintervall bestimmen.

Es kann auch sein, dass ich hier üübelsten Unfug schreibe, aber ich denke mit Hilfe von dem hier sollte die Aufgabe schnell zu machen sein.

Sorry, dass ich nicht mehr mache, aber mit Stochastik beschäftige ich mich erst wieder am Freitag :\

29.01.2011, 16:35

jsk85

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Moin,

mmh, also ich habe jetzt meine Ergebnisse einfach mal rückwärts gerechnet und das klappt eigentlich dann ganz gut Augenzwinkern

Vielleicht mag mal ein Dritter seine Meinung zu dem ganzen sagen?

T0b1a5, kein Problem...ich bin ja froh, dass du überhaupt ein paar Anregungen hattest! Danke dafür!! Augenzwinkern

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