Extrema und NB, Lagrange Haushaltstheorie ( Produktionstheorie)

28.01.2011, 00:10

Extrema und NB, Lagrange Haushaltstheorie ( Produktionstheorie)

Hallo zusammen, ich habe hier eine Aufgabe an der ich mir so ein bisschen die Zähne ausbeiße.
$\begin{eqnarray*} P(x, y) =x^3+ y^3 [x,y \geq0] \end{eqnarray*}$
wobei x und y die eingesetzten Mengen zweier Produktionsfaktoren X und Y bezeichnen mögen.
Die Preise der Faktoren X bzw. Y mögen mit p bzw. q [GE/ME] bezeichnet werden, wobei p > q angenommen werde.
(i) Angenommen, es stehe für die Beschaaffung der Faktoren X und Y ein Budget von B [GE] zur Verfügung. Wie groß ist der größtmögliche Output Pmax des Gutes G, der sich bei Einhaltung des Budgets B erzielen lässt, und welche Mengen x , bzw. y der Faktoren sind dabeieinzusetzen?
Hinweis: Sie können bei der Lösung der Aufgabe Arbeit sparen: P ist konvex!

Also mein Ansatz lautet nach Lagrange so :
L(x,y,lambda)= $\begin{eqnarray*} x^3+y^3+\lambda*(B-p*x-q*y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Lx= 3*x^2-\lambda*p \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} Ly= 3*y^2-\lambda*q \end{eqnarray*}$ (2)
$\begin{eqnarray*} L\lambda= B-p*x-q*y \end{eqnarray*}$ (3)
$\begin{eqnarray*} Lx/Ly \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x^2/y^2=p/q --> x=y*(p/g) \end{eqnarray*}$
einsetzen in (3) liefert =
$\begin{eqnarray*} B-p*(y*\sqrt(p/q))-y*q=0 \end{eqnarray*}$
ausklammern bewirkt
$\begin{eqnarray*} B- y*(p*\sqrt(p/q)-q)=0 \end{eqnarray*}$ ---> $\begin{eqnarray*} y= B/(p*\sqrt(p/q)-q) \end{eqnarray*}$

Einsetzten liefert dann für $\begin{eqnarray*} x= B/(p*\sqrt(p/q)-q)*\sqrt(p/q) \end{eqnarray*}$

Irgendwie sieht das für mich komisch aus. Unser Prof ist eigentlich ein Fan vom ausklammern und von Potenzgesetzen. Leider sehe ich hier keine weitere Möglichkeit zur Vereinfachung.

Auch der Wert Pmax wird nach dieser Lsg. tierisch lang und groß. X^3+Y^3 bei diesen faktoren wird sehr unübersichtlich.

Ich hoffe auf Hilfe.
Vielen dank

28.01.2011, 01:26

mYthos

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Du hast die Resultate nur etwas ungünstig aufgeschrieben. Die unschönen Doppelbrüche trüben das ansonsten richtige Bild. Trenne dort noch

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac p q} \ \text{in} \ \frac {\sqrt p}{\sqrt q} \end{eqnarray*}$

und erweitere die Brüche mit $\begin{eqnarray*} \sqrt q \end{eqnarray*}$ : Dann ist letztendlich

$\begin{eqnarray*} x = \frac {B \sqrt p}{\sqrt {p^3} - \sqrt{q^3}} \ \text{und} \ y = \frac {B \sqrt q}{\sqrt {p^3} - \sqrt{q^3}} \end{eqnarray*}$
__________________________

Zu dieser übersichtlicheren Darstellung gelangt man leichter, wenn man die bereits während der Rechnung zu erkennende Proportion

$\begin{eqnarray*} x : y = \sqrt p : \sqrt q \end{eqnarray*}$

mit der Nebenbedigung entsprechend auswertet.

mY+

28.01.2011, 10:19

Mystic

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RE: Extrema und NB, Lagrange Haushaltstheorie ( Produktionstheorie)

Zitat:

Original von [email protected]
Also mein Ansatz lautet nach Lagrange so :
L(x,y,lambda)= $\begin{eqnarray*} x^3+y^3+\lambda*(B-p*x-q*y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Lx= 3*x^2-\lambda*p \end{eqnarray*}$ (1)
$\begin{eqnarray*} Ly= 3*y^2-\lambda*q \end{eqnarray*}$ (2)
$\begin{eqnarray*} L\lambda= B-p*x-q*y \end{eqnarray*}$ (3)
$\begin{eqnarray*} Lx/Ly \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} x^2/y^2=p/q --> x=y*(p/g) \end{eqnarray*}$

Eine kleine Randbemerkung, weil man das immer wieder sieht: Die letzte Umformung (Durchdividieren durch $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ ) ist schlicht und einfach verboten, jedenfalls ohne weitere Fallunterscheidung... Tatsächlich ist sie auch gar nicht notwendig, denn der richtige Schluss geht so (unter Verwendung der Tatsache, dass alle involvierten Größen nichtnegativ sind):

$\begin{eqnarray*} qL_x-pL_y=3qx^2-3py^2=0 \Rightarrow \sqrt q x = \sqrt p y \end{eqnarray*}$

28.01.2011, 12:24

mYthos

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RE: Extrema und NB, Lagrange Haushaltstheorie ( Produktionstheorie)

Zitat:

Original von Mystic
...
$\begin{eqnarray*} qL_x-pL_y=3qx^2-3py^2=0 \Rightarrow \sqrt q x = \sqrt p y \end{eqnarray*}$

Und genau dies führt zu der angesprochenen Proportion:

$\begin{eqnarray*} x : y = \sqrt p : \sqrt q \end{eqnarray*}$

mY+

28.01.2011, 13:55

Mystic

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RE: Extrema und NB, Lagrange Haushaltstheorie ( Produktionstheorie)

Zitat:

Original von mYthos
Und genau dies führt zu der angesprochenen Proportion:

$\begin{eqnarray*} x : y = \sqrt p : \sqrt q \end{eqnarray*}$

mY+

Ich sage ja auch nicht, dass bei mir etwas "anderes" herauskommt, sondern eben nur, dass man "sauberer" argumentieren sollte, als dies vom Threadersteller in der von mir zitierten Passage geschieht... Das mindeste wäre, dass man den Fall y=0, welcher ja nicht ausgeschlossen ist, einmal vorweg betrachtet, um dann im Folgenden y>0 voraussetzen zu können...

28.01.2011, 14:12

mYthos

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@Mystic
Wir sind uns ja einig! Big Laugh

Meine Absicht war, dein Zwischenergebnis zu der Proportion hinzuleiten.

Eine sinnvolle Einschränkung ist in der Praxis (der Mikroökonomie) für die Mengen (Stückzahlen) x, y ohnehin 0 < x, y

mY+

28.01.2011, 14:47

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
@Mystic
Wir sind uns ja einig! Big Laugh

Ah, sorry, hab das dann mißverstanden... smile

Was die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x,y \ge 0 \end{eqnarray*}$ betrifft, ist diese hier aber in der Aufgabenstellung bei der der Definition von $\begin{eqnarray*} P(x,y) \end{eqnarray*}$ extra mitangeführt, also dürften hier die Fälle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ zumindestens aus der Sicht des Aufgabenstellers durchaus noch Sinn machen...

28.01.2011, 15:02

mYthos

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.. das sehe ich auch so (ein) smile

mY+

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